泛函分析笔记 2

贡献者： addis

1. 2.1 Hilbert Spaces

希尔伯特空间必须使用勒贝格积分（见附录）
内积记为 $(u | v)$ , $(u | v) \in K$
pre-Hilbert 空间 就是定义了内积的线性空间
柯西—施瓦兹不等式是（pre-）Hilbert 空间中最重要的性质。
pre-Hilbert 空间都是赋范空间，范数为 $‖ u ‖ := \sqrt{(u | u)}$
希尔伯特空间定义：1. 是一个内积空间，2. 是一个 Banach 空间（或者任意柯西序列的极限都属于它本身）

2. 2.2 Standard Examples

空间 $X := K^{N}$ 是一个希尔伯特空间，内积为 $(x | y) := \sum_{j} {\bar{ξ}}_{j} η_{j}$ ，范数为 $‖ x ‖ = (x | x)^{1 / 2}$
令 $- \infty < a < b < \infty$ 。 $\forall u, v \in C [a, b]$ ，定义内积为 $(u | v) = \int_{a}^{b} u v d x$ ，那么这是一个 pre-Hilbert 空间而不是 Hilbert 空间，记为 $C_{*} [a, b]$ 。该空间是以下 $L_{2} (a, b)$ 的稠密子集
令 $- \infty ⩽ a < b ⩽ \infty$ ，令 $L_{2} (a, b)$ 为所有可测函数 $u :] a, b [\to R$ （其中 $] a, b [$ 表示开区间） ${x \in R : a < x < b}$ ，满足 $\int_{a}^{b} {| u |}^{2} d x < \infty$ 。定义内积为 $(u | v) := \int_{a}^{b} u v d x$ ，那么 $L_{2} (a, b)$ 是无穷维的实希尔伯特空间
$L_{2} (a, b)$ 的 identification principle: 两个函数 $u$ 和 $v$ 是同一个元素当且仅当 $u (x) = v (x)$ 对几乎所有 $x \in] a, b [$ 成立
令 $G$ 表示 $R^{N}$ （ $N ⩾ 1$ ）中的可测非空子集， $L_{2}^{K} (G)$ 表示可测函数 $u : G \to K$ 的集合，满足 $\int_{G} {| u |}^{2} d x < \infty$ 。那么 $L_{2}^{K} (G)$ 是一个希尔伯特空间，内积定义为 $(u | v) := \int_{G} \bar{u} v d x$ ，称为勒贝格空间（Lebesgue space）
请写出 $L_{2}^{K} (G)$ 中的施瓦兹（Schwarz）不等式
令 $G$ 为 $R^{N}$ 中的非空开子集（ $N > 1$ ）。那么 $C^{k} (G)$ 表示 $k$ 阶偏导连续的函数 $u : G \to R$ 的集合
$C^{k} (\bar{G})$ 包含 $C^{k}$ 中所有满足各阶偏导数能拓展到 $G$ 的闭包 $\bar{G}$ 上的函数
如果 $u \in C^{k} (G)$ 对所有的 $k = 0, 1, \dots$ 都成立，那么我们记 $u \in C^{\infty} (G)$ 。同理可以定义 $C^{\infty} (\bar{G})$
$C_{0}^{\infty} (G)$ 是所有 $C^{\infty} (G)$ 中的函数，满足在 $G$ 的紧子集 $C$ 外恒为零
令 $G$ 为 $R^{N}$ 中的一个非空开集， $N ⩾ 1$ 。那么 (i) $C_{0}^{\infty} (G)$ 和 $C (\bar{G})$ 在 $L_{2} (G)$ 中稠密
$C_{0}^{\infty} (G)_{C}$ 和 $C (\bar{G})_{C}$ 在 $L_{2}^{C} (G)$ 中稠密
分部积分的高阶拓展： $\int_{G} (\partial_{j} u) v d x = \int_{\partial G} u v n_{j} d O - \int_{G} u \partial_{j} v d x$ 。其中 $x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{N})$ ， $\partial_{j} u := \partial u / \partial ξ_{j}$ ， $n_{j}$ 是边界 $\partial G$ 的法向量 $n = (n_{1}, \dots, n_{N})$ 。 $\int d O$ 代表边界上的积分，二维情况下 $\int d O$ 是逆时针的环积分。（推导见式 1 ）。当 $u$ 或 $v$ 在 $\partial G$ 上为零时，边界积分为零
上一条的分部积分公式对所有 $u, v \in C^{1} (\bar{G})$ 成立， $G$ 是 $R^{N}$ 中的有界非空开集，边界足够光滑。没有边界积分的分部积分对所有 $u \in C^{1} (G)$ 和 $v \in C_{0}^{\infty} (G)$ 成立。 $G$ 是 $R^{N}$ 中的一个非空开集
微积分基本定理 $\int_{a}^{b} w^{'} d x = {w |}_{a}^{b}$ 在高维中拓展为高斯定理（Gauss theorem） $\int_{G} \partial_{j} w d x = \int_{\partial G} w n_{j} d O$ 。令 $w = u v$ ，可得分部积分

3. 2.3 Bilinear Forms

赋范空间 $X$ 上的 bounded bilinear form 是一个函数 $a : X \times X \to K$ 且具有性质 (1) 双线性（bilinear）：对所有 $u, v, w \in X$ 以及 $α, β \in K$ ， $a (α u + β v, w) = α a (u, w) + β a (v, w)$ 以及 $a (w, α u + β v) = α a (w, u) + β a (w, v)$ ，(2) 有界性（Boundedness） 存在常数 $d > 0$ 使得 $| a (u, v) | \leq d ‖ u ‖ ‖ v ‖$ 对所有 $u, v \in X$ 成立
双线性函数 $a (\cdot, \cdot)$ 叫做对称的当且仅当 $a (u, v) = a (v, u)$ 对任意 $u, v \in X$ 成立，叫做 positive 当且仅当 $0 \leq a (u, u)$ 对所有 $u \in X$ 成立。叫做 strongly positive 当且仅当存在常数 $c > 0$ 使 $c {‖ u ‖}^{2} \leq a (u, u)$ 对所有 $u \in X$ 成立

4. 2.4 The Main Theorem on Quadratic Variational Problems

令 $a : X \times X \to R$ 是实希尔伯特空间 $X$ 上的 symmetric, bounded, strongly positive, bilinear form， $b : X \to R$ 是一个 $X$ 上的线性连续函数。那么 variational problem $a (u, u) / 2 - b (u) = min!$ （ $u \in X$ ）有唯一解，且该式等效于 variational equation $a (u, v) = b (v)$ 对所有 $v \in X$ 成立。（想一想哈密顿原理如何推出欧拉—拉格朗日方程）

5. 2.5 The Functional Analytic Justification of the Dirichlet Principle

广义导数：分部积分 $\int_{G} u \partial_{j} v d x = - \int_{G} (\partial_{j} u) v d x$ 对所有 $v \in C_{0}^{\infty} (G)$ 和 $u \in C^{1} (G)$ 成立。若 $w, u \in L_{2} (G)$ 能使所有 $\int_{G} u \partial_{j} v d x = - \int_{G} w v d x$ 对所有 $v \in C_{0}^{\infty} (G)$ 成立，那么 $w$ 就是 $u$ 的广义导数（ $G$ 是 $R^{N}$ 中的非空开集）。同样记 $w = \partial_{j} u$
广义导数 $w = \partial_{j} u$ 能在一个 $N$ 维零测度集外被唯一确定
Sobolev 空间 $W_{2}^{1} (G)$ ： $G$ 是 $R^{N}$ 中的非空开集， $u, \partial_{j} u \in L_{2} (G)$ 。定义内积为 $(u | v)_{1, 2} := \int_{G} (u v + \sum_{j} \partial_{j} u \partial_{j} v) d x$
$W_{2}^{1} (G)$ 是一个希尔伯特空间，如果我们认为两个在大多数地方相等的函数是同一个函数
定义 $\overset{˚}{W_{2}^{1}} (G)$ 为 $C_{0}^{\infty} (G)$ 在 $W_{2}^{1} (G)$ 上的闭包
$\overset{˚}{W_{2}^{1}} (G)$ 是 $W_{2}^{1} (G)$ 的（实的）子希尔伯特空间
从广义的角度理解， $\overset{˚}{W_{2}^{1}} (G)$ 中函数的边界值为 0

6. 2.8 Generalized Functions and Linear Functionals

多重指标（multiindex）： $α = (α_{1}, \dots, α_{N})$ ，令 $| α | := α_{1} + \dots + α_{N}$ , 以及 $\partial^{α} u := \partial_{1}^{α_{1}} \dots \partial_{N}^{α N} u = \partial^{| α |} u / (\partial ξ_{1}^{α_{1}} \dots \partial ξ_{N}^{α N})$
分部积分： $G$ 为 $R^{N} \geq 1$ 上的所有非空开区间。对所有 $u, v \in C_{0}^{\infty} (G)$ 以及所有多重指标 $α$ ， $\int_{G} u \partial^{α} v d x = (- 1)^{| α |} \int_{G} (\partial^{α} u) v d x$ （重复使用分部积分即可证明）
令 $D (G) := C_{0}^{\infty} (G)$ 。令 $ϕ_{n}, ϕ \in D (G)$ 。 $ϕ_{n} \to ϕ$ 的定义是：对所有的多重指标 $α$ ， $K$ 上有一致收敛 $\partial^{α} ϕ_{n} \to \partial^{α} ϕ (x)$
如果 $G =] α, β [$ ，那么 $D (α, β) := D (G)$
广义函数（generalized function） $U \in D^{'} (G)$ 定义：线性连续泛函 $U : D (G) \to R$ 。广义函数也叫分布（distribution）
$L_{2} (G) \subseteq D^{'} (G)$ 的意思是每个 $u \in L_{2} (G)$ 都对应（identified with）一个广义函数 $U (ϕ) := \int_{G} u (x) ϕ (x) d x$ 对所有 $ϕ \in D (G)$ 成立。 $U \in D^{'} (G)$ 。如果 $u = v$ ，那么 $U = V$
狄拉克 $δ_{y}$ 分布： $δ_{y} (ϕ) := ϕ (y)$ 对所有 $ϕ \in D (G)$ 成立
定义广义函数 $U \in D^{'} (G)$ 的导数 $\partial^{α} U$ 为 $(\partial^{α} U) (ϕ) := (- 1)^{| α |} U (\partial^{α} ϕ)$ 对所有 $ϕ \in D (G)$ 成立
如果 $u \in D (G)$ 对应的广义函数为 $U$ ， $\partial^{α} u$ 对应的广义函数为 $V$ ，那么 $V = \partial^{α} U$
如果 $U \in D^{'} (G)$ ，那么 $\partial^{α} U \in D^{'} (G)$ 对所有的 $α$ 成立
广义函数存在任意阶导数
广义函数的极限 $U_{n} \to U$ 的定义： $U_{n} (ϕ) \to U (ϕ)$ 对所有 $ϕ \in D (G)$ 都成立
在 $L_{2} (G)$ 中 $u_{n} \to u$ 意味着对应的 $U_{n} \to U$
在 $D (α, β)$ 中， $f_{y, ϵ}$ 对应的泛函 $F_{y, ϵ} \to δ_{y}$ 当 $ϵ \to + 0$ 。 $f_{y, ϵ}$ 是区间 $[y - ϵ, y + ϵ]$ 外为零，积分为 1 的函数
在 $D (α, β)$ 中，方程 $- U^{″} = δ_{y}$ 的解 $U$ 对应的就是格林函数， $U (ϕ) = \int G (x, y) ϕ (x) d x$
令 $u, w \in L_{2} (G)$ ，广义导数 $w = \partial^{α} u$ 的定义为：对应的广义函数满足 $W = \partial^{α} U$ 。这比之前定义的广义导数更一般化
广义导数（除了零测度集）是唯一确定的

7. 2.9 Orthogonal Projection

orthogonal complement： $M^{⊥} := w \in X : (w | v) = 0 \forall v \in M$
perpendicular principle：令 $M$ 为希尔伯特空间 $X$ 上闭合的线性子空间。对于给定的 $u \in X$ ， $‖ u - v ‖ = min!$ 存在唯一的解 $v$ ，且 $u - v \in M^{⊥}$
orthogonality decomposition：如果给定 $u \in M$ ，要求 $w \in M^{⊥}$ ，那么 $u = v + w$ 是唯一的

8. 2.10 Linear Functionals and the Riesz Theorem

Riesz teorem：令 $X$ 为 $K$ 上的希尔伯特空间，令 $X^{*}$ 为 $X$ 的对偶空间。那么 $f \in X^{*}$ 当且仅当存在 $v \in X$ 使得 $f (u) = (v | u)$ 对所有 $u \in X$ 。 $v$ 可以由 $f$ 唯一确定，且 $‖ f ‖ = ‖ v ‖$
如果 $f$ 是 Hilbert 空间中的非零线性连续函数，那么它的零空间 $N (f)$ 是一个闭合平面且 orthogonal complement $N (f)^{⊥}$ 是一维的

9. 2.11 The Duality Map

duality map $J : X \to X^{*}$ 把 $v \in X$ 映射到 $f (u) = (v | u)$ （对所有 $u \in X$ ）
定义 $⟨ f, u ⟩ = f (u)$ （ $f \in X^{*}, u \in X$ ），那么 $⟨ J (v), u ⟩ := (v | u)$ （对所有 $u, v \in X$ ）
对偶映射 $J$ 是双射的，连续的以及 norm preserving。即 $‖ J (u) ‖ = ‖ u ‖$ 对所有 $u \in X$
如果 $X$ 是实 Hilbert 空间，那么 $J$ 是线性的。如果 $X$ 是复 Hilbert 空间，那么 $J$ 是反线性的，即 $J (α v + β w) = \bar{α} J u + \bar{β} J w$ （对所有 $α, β \in C, u, w \in X$ ）

10. 2.13 The Linear Orthogonality Princple

以下三个条件互相等价：(1) 二次最小值问题的 existence principle (2) 垂直定理 (3) Riesz 定理

11. 2.14 Nonlinear Monotone Operators

实 Hilbert 空间 $X$ 上的强单调（strongly monotone） 算符（注意不一定是线性的！） $A : X \to X$ 定义为：存在常数 $c > 0$ 使得 $(u - v | A u - A v) \geq c {‖ u - v ‖}^{2}$ 对所有 $u, v \in X$ 成立
对任意 $z \in X$ 以及强单调，Lipschitz 连续的算符 $A$ ， $A u = z$ 存在唯一解 $u \in X$

12. Problems

special tensor product：经典分析中，两个函数的张量积定义为 $(ϕ \otimes ψ) (x, y) := ϕ (x) ψ (y)$ 。令广义函数 $U, δ \in D^{'} (R)$ 。定义 $(U \otimes V) (χ) = U (V (χ))$