泛函分析笔记 1

贡献者： addis; Relo Stern

1. Banach 空间

　　本文参考：[1]

2. 1.1 Linear Spaces and Dimension

$R$ 和 $C$ 分别表示实数域和复数域， $K$ 表示二者中的一个
$K^{N}$ 表示 $N$ 元 tuple $(ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{N})$
某区间上的连续函数 $u : [a, b] \to R$ 可以表示为 $C [a, b]$
$K$ 上（over $K$ ）的矢量空间（linear space 就是 vector space) 表示只能以 $K$ 的元乘以某个矢量
$C [a, b]$ 是无穷维矢量空间

3. 1.2 Normed Spaces and Convergence

用 $‖ u ‖ > 0$ 表示范数（norm）
定义了范数的空间就叫赋范空间（normed space），满足 (1) $‖ u ‖ ⩾ 0$ ，(2) $‖ u ‖ = 0$ iff $u = 0$ ，(3) $‖ α u ‖ = | α | ‖ u ‖$ ，(4) $‖ u + v ‖ ⩽ ‖ u ‖ + ‖ v ‖$
定义两个矢量之间的距离（distance） 为 $‖ u - v ‖$
模可以用于定义极限 $lim_{n \to \infty} u_{n} = u$ 为 $lim_{n \to \infty} ‖ u_{n} - u ‖ = 0$ ，即 $u_{n}$ 收敛到 $u$
上一条中，(1) $u$ 是唯一的，(2) $u_{n}$ 是有界的（bounded），(3) $‖ u_{n} ‖ \to ‖ u ‖$ ，(4) $u_{n} + v_{n} \to u + v$ ，(5) $α_{n} u_{n} \to α u$
柯西序列（Cauchy sequence）：对任意 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，当 $n, m ⩾ N$ 就有 $‖ u_{n} - u_{m} ‖ < ε$
在赋范空间中，每个收敛序列都是柯西序列

4. 1.3 Banach Spaces and the Cauchy Convergence Criterion

赋范空间 $X$ 是 Banach 空间当且仅当每个柯西数列都收敛（到 $X$ 的元素）
在 Banach 空间中，收敛序列都是柯西序列¹
空间 $X := C [a, b]$ 是实数 Banach 空间，定义范数为 $‖ u ‖ := max_{a ⩽ x ⩽ b} | u (x) |$ 。 $u_{n} \to u$ 意味着 $‖ u_{n} - u ‖ = max_{a ⩽ x ⩽ b} | u_{n} (x) - u (x) | \to 0$ 。也就是 $u_{n} (x)$ 一致收敛到 $u$
如果柯西序列 $u_{n}$ 的子序列 $u_{n^{'}} \to u$ ，那么 $u_{n} \to u$
若 $\sum_{j = 1}^{\infty} ‖ u_{j + 1} - u_{j} ‖ < \infty$ ，² 那么 $u_{n}$ 是柯西序列
集合 $U_{ε} (u_{0}) := {u \in X : ‖ u - u_{0} ‖ < ε}$ 叫做 $u_{0}$ 的 $ε$ -邻域（neighborhood）

5. 1.4 Open and Closed Sets

$X$ 的子集 $M$ 是开集当且仅当对任意 $u \in M$ 都存在邻域是 $M$ 的子集
$X$ 的子集 $M$ 是闭集当且仅当 $M$ 中的每个序列的极限都属于 $M$
$X$ 的子集 $M$ 是闭的（closed）当且仅当 $X - M$ 是开的（open）

6. 1.5 Operators

$M$ 和 $Y$ 是集合， $u \in M, v \in Y$ 算符 $A : M \to Y$ 代表映射 $v = A u$ ，其中 $M$ 是定义域（domain of definition），也记为 $D (A)$ 。值域（range）是 $A (M) := {v \in Y : v = A u, u \in M}$ ，也记为 $R (A)$
$A$ 叫满射（surjective） 当且仅当 $A (M) = Y$ ; $A$ 叫做单射（injective） 当且仅当 $A u = A v$ 蕴含 $u = v$ ; $A$ 叫做双射（bijective） 如果前面两者都符合
如果 $A$ 是双射（bijective），则存在逆算符 $A^{- 1} : Y \to M$ ，定义为 $A^{- 1} v = u$ 当且仅当 $A u = v$
算符也叫函数
$A : M \subseteq X \to Y$ 表示 $A : M \to Y$ 且 $M \subseteq X$ ，当 $Y = K$ ，就把 $A$ 叫做泛函（functional）

7. 1.9 Continuity

Sequentially continuous： $lim_{n \to \infty} u_{n} = u$ （ $u \in M$ ）意味着 $lim_{n \to \infty} A u_{n} = A u$
continuous operator：对任意 $u \in M$ ，以及 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ 使得 $‖ v - u ‖ < δ$ （ $v \in M$ ）意味着 $‖ A v - A u ‖ < ε$
uniformly continuous operator：上面的 $δ$ 不取决于 $u$
Lipschitz continuous：存在 $L > 0$ 使得 $‖ A v - A u ‖ \leq L ‖ v - u ‖$ 对所有 $u, v \in M$ 都成立
continuous 和 sequentially continuous 是充要条件
两个连续算符的复合算符 $C = A \circ B$ 也是连续的
两个集合叫 homeomorphic（注意不是 homomorphic）当且仅当存在一个算符，满足连续，双射，且逆算符也连续

8. 1.10 Convexity

凸集（convex set）：线性空间中的子集 $M$ 是凸的当且仅当 $u, v \in M$ 且 $0 \leq α \leq 1$ 意味着 $α u + (1 - α) v \in M$ （两点之间的连线也属于集合）
凸函数：凸集合上的函数 $f : M \to R$ 满足 $f (α u + (1 - α) v) \leq α f (u) + (1 - α) f (v)$ 对所有 $u, v \in M$ 和 $0 \leq α \leq 1$ 都成立
赋范空间中的函数 $f (u) := ‖ u ‖$ 是凸函数
linear subspace，closed linear subspace
显然所有线性子空间都是凸的
linear hull： $span M$ ，closure： $\bar{M}$ ，convex hull： $co M$
$u \in co M$ ：对固定的 $n = 1, 2, \dots$ ， $u = α_{1} u_{1} + \dots + α_{n} u_{n}$ ，其中 $u_{1}, \dots, u_{n} \in M$ ， $0 \leq α_{1}, \dots, α_{n} \leq 1$ ， $α_{1} + \dots + α_{n} = 1$

9. 1.11 Compactness

如果赋范空间的集合 $M$ 满足每个序列都有收敛的子序列，那么 $M$ 就是相对紧的（relatively compact）
如果赋范空间的集合 $M$ 满足每个序列都有收敛的子序列且收敛到 $M$ 中，那么 $M$ 就是紧的（compact）
如果存在 $r ⩾ 0$ 使任意 $u \in M$ 都有 $‖ u ‖ ⩽ r$ ，那么 $M$ 就是有界的（bounded）
$M$ 是紧的当且仅当它是相对紧的且闭合
每个紧集都是有界的
$K^{N}$ 上的子集若使用 $‖ u ‖ := {| u |}_{\infty}$ ，那么它是相对紧的当且仅当它是有界的
Arzela-Ascoli theorem：令 $X := C [a, b]$ ，且 $‖ u ‖ := max_{a ⩽ x ⩽ b} | u (x) |$ 。那么若 $M \subseteq X$ 有界且一致连续，那么 $M$ 就是相对紧的
Weierstrass 定理：令 $f : M \to R$ 为赋范空间中非空紧子集 $M$ 上的连续函数，那么 $f$ 在 $M$ 上存在一个最大值和最小值
令 $X, Y$ 为 $K$ 上的赋范空间，令 $A : M \subseteq X \to Y$ 中 $M$ 为非空紧集， $A$ 为连续算符。那么 $A$ 是一致连续的
finite $ε$ net 对任意 $ε > 0$ ，存在有限多个点 $v_{1}, \dots, v_{J} \in M$ 使得 $min_{1 \leq j \leq J} ‖ u - v_{j} ‖ \leq ε$ （ $\forall u \in M$ ）
$A : M \subseteq X \to Y$ 称为紧的（compact） 当且仅当 $A$ 是连续的且 $A$ 将有界集变换到相对紧集
算符 $(A u) (x) := \int_{a}^{b} F (x, y, u (y)) d y$ 是紧的，其中 $- \infty < a < b < \infty$ ， $u (x)$ 有界
紧算符都是有界的（来自网络）。

10. 1.13 The Minkowski Functional and Homeomorphisms

赋范空间 $X$ 中的两个范数叫做 equivalent 当且仅当存在正数 $α$ 和 $β$ 使得 $α ‖ u ‖ ⩽ {‖ u ‖}_{1} ⩽ β ‖ u ‖$ 对所有的 $u \in X$ 成立
有限维空间的任意两个范数都是 equivalent 的
每个有限维赋范空间都是 Banach space.
如果 $u_{0}, \dots, u_{N}$ 满足 $u_{1} - u_{0}, u_{2} - u_{0}, \dots, u_{N} - u_{0}$ 线性无关，那么就说它们在一般位置（general position）。这个性质与 $u_{0}, \dots, u_{N}$ 的顺序无关
$N$ -单纯形（ $N$ -simplex）是 $S := co {u_{0}, \dots, u_{N}}$ （ $co$ is convex hull），其中 $u_{0}, \dots, u_{N}$ 在一般位置。 $0$ -单纯形是一个点
单纯形的 barycenter 是 $b := \sum_{j = 0}^{N} u_{j} / (N + 1)$
$S$ 的 $k$ -face 是单纯形中 $k + 1$ 个不同 vertices 的 convex hull
$diam M := sup_{u, v \in M} ‖ u - v ‖$ is the diameter of $M$ , and $dist (u, M) := inf_{w \in M} ‖ u - w ‖$ is the distance of the point $u$ from the point $M$

11. 1.14 The Brouwer Fixed-Point Theorem

当 $M$ 是有限维赋范空间中紧的，凸的，非空的子集，连续算符 $A : M \to N$ 拥有 fixed point

12. 1.15 The Schauder Fixed-Point Theorem

紧算符 $A : M \to M$ 有一个 fixed point 如果 $M$ 是 Banach 空间的一个有界的，闭的，突的，非空的子集

13. 1.20 Linear Operators

线性算符 $A : L \subseteq X \to Y$ 是线性的当且仅当 $A (α u + β v) = α A u + β A v$
用 $L (X, Y)$ 表示线性连续算符 $A : X \to Y$ ， $X$ 是 $K$ 上的赋范空间， $Y$ 是 $K$ 上的 Banach 空间。 $L (X, Y)$ 是 $K$ 上的 Banach 空间，范数就是算符的范数
有限维矢量空间中的线性算符可以表示为矩阵，所有这些算符都是连续的
算符的零空间（null space） 为 $N (A) := {u \in X : A u = 0}$
线性算符 $A$ 是连续的，当且仅当存在 $c > 0$ 使 $‖ A u ‖ ⩽ c ‖ u ‖$ 对所有 $u$ 都成立。即当且仅当 $A$ 是有界的
线性算符是单射的当且仅当 $N (A) = 0$
定义线性连续算符 $A : X \to Y$ 的算符范数（operator norm） 为 $‖ A ‖ := sup_{‖ v ‖ ⩽ 1} ‖ A v ‖$
当 $X \neq 0$ ，有 $‖ A ‖ := sup_{‖ v ‖ = 1} ‖ A v ‖$

14. 1.21 The Dual Space

令 $X$ 为 $K$ 上的一个赋范空间，一个线性的连续算符 $f : X \to K$ 称为线性连续泛函（linear continuous functional）
所有 $X$ 上的线性连续泛函叫做 $X$ 的对偶空间（dual space） $X^{*}$ ， $X^{*} = L (X, K)$
$f \in X^{*}$ 作用在 $u \in X$ 上可以记为 $⟨ f, u ⟩ := f (u)$
$f \in X^{*}$ 的范数为 $‖ f ‖ := sup_{‖ v ‖ ⩽ 1} | f (v) |$ ，所以 $| f (u) | ⩽ ‖ f ‖ ‖ u ‖$
令 $X$ 为 $K$ 上的赋范空间，那么对偶空间 $X^{*}$ 使用上述范数就是 $K$ 上的 Banach 空间

15. 1.23 Banach Algebras and Operator Functions

By a Banach algebra $B$ over $K$ we understand a Banach space over $K$ , where an additional multiplication $A B$ is defined such that $A B \in B$ for all $A, B \in B$ . More over, for $A, B, C \in B$ and $α \in K$ , $(A B) C = A (B C)$ , $A (B + C) = A B + A C$ , $(B + C) A = B A + C A$ , $α (A B) = (α A) B = A (α B)$ , $‖ A B ‖ ⩽ ‖ A ‖ ‖ B ‖$ . Exist $E \in B$ such that $A E = E A$ for all $A \in B$ and $‖ E ‖ = 1$
define operator function through $F (A) := \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} A^{j}$ , and $F (z) = \sum_{j = 0}^{\infty} a_{j} z^{j}, z \in K$
Let $X$ be a Banach space over $K$ . For each $A \in L (X, X)$ with $‖ A ‖ < r$ , $F (A) \in L (X, X)$

16. 1.25 Application to the Spectrum

考虑 $A u = λ u, u \in X, λ \in C$
令 $A \in L (X, X)$ ， $X$ 是非空的复 Banach 空间。 $λ$ 是本征值（eigen value） 当 $u \neq 0$
预解集（resolvent set） $ρ (A)$ ：使得 $(A - λ I)^{- 1} : X \to X$ 存在且 $\in L (X, X)$ 的复数 $λ$ 的集合。 $(A - λ I)^{- 1}$ 叫做 resolvent
预解集中的 $λ$ 代入本征方程只能解得矢量 $u = 0$
$σ (A) := C - ρ (A)$ 叫做谱（spectrum）
谱是 $C$ 中的紧子集且 $| λ | ⩽ ‖ A ‖$ 对所有 $λ \in σ (A)$ 成立
每个本征值都属于谱
预解集 $ρ (A)$ 是一个开集
Banach 空间 $X$ 上的一个算符 $B : X \to X$ 如果值域 $R (B)$ 是闭的且零空间是有限维的，那么他就是 semi-Fredholm 的
本质谱（essential spectrum） $σ_{e} (A)$ 包括所有使得 $(A - λ I)$ 不是 semi-Fredholm 的 $λ$
$σ_{e} (A) \subseteq σ (A)$
$σ_{e} (A)$ 就是所有具有无穷简并（degeneracy）的本征值的集合
如果 $X$ 是有限维的，那么 $A$ 的本质谱是空的

17. 1.26 Density and Approximation

$M \subseteq X$ 被称为在 $X$ 中稠密的（dense） 当且仅当 $\bar{M} = X$ ，其中 $\bar{M}$ 是 $M$ 的闭包
可数的（countable）, 至多可数（at most countable）
$X$ 叫可分的（separable） 的当且仅当它存在至多可数的稠密子集 $M \subseteq X$
Weierstrass 近似理论: $X := C [a, b]$ ， $- \infty < a < b < \infty$ 。所有实系数多项式的集合在 $X$ 内稠密
$C [a, b]$ 是可分的
任何有限维赋范空间都是可分的
令 $X$ 为可分的赋范空间。存在一个序列 ${X_{n}}$ （ $X_{n}$ 是 $X$ 的有限维线性子空间），使得 $X_{1} \subseteq X_{2} \subseteq \dots \subseteq X$ 以及 $⋃_{n = 1}^{\infty} X_{n} = X$

18. Problems

令 $C^{k} [a, b]$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）为连续函数 $u : [a, b] \to R$ ，满足 $k$ 阶导数连续。令 $‖ u ‖ := \sum_{j = 0}^{k} max_{a \leq x \leq b} | u^{(j)} (x) |$

1. ^ 在完备空间中，收敛序列与柯西序列等同。
2. ^ 此时称 $u_{j}$ 为有界变差序列。

[1] ^ Eberhard Zeidler. Applied Functional Analysis - Applications to Mathematical Physics