泛函分析笔记 3

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1. 3.1 Orthonormal Series

正交归一系（orthonormal system）：$(u_k|u_m) = \delta_{k,m}$ 对所有 $k, m$ 成立
令 $X$ 为实 Hilbert 空间，$\{u_0, u_1,\dots\}$ 为 $X$ 中至多可数的正交归一系。对有限正交归一系，如果 $u = \sum_{n=0}^N(u_n|u)u_n$ 对所有 $u\in X$ 成立，它就叫做完备的（complete）。对可数的正交归一系，令 $s_m := \sum_{n=0}^m(u_n|u)u_n$，如果 $u = \lim_{m\to\infty} s_m$ 对所有 $u\in X$ 成立，它就叫做完备的（complete）
有限的正交归一系在 Hilbert 空间 $X$ 中是完备的当且仅当它是 $X$ 的一组基底
令 $\{u_n\}$ 为 Hilbert 空间中可数的正交归一系。如果无穷级数 $u = \sum_{n=0}^\infty c_n u_n$ 对某个 $u\in X$ 收敛，那么 $c_n = (u_n|u)$ 对所有 $n$ 成立
Bessel inequality：$\sum_{n=0}^m \left\lvert (u_n|u) \right\rvert ^2 \le \left\lvert u \right\rvert ^2$ 对所有 $u \in X$ 和 $m$ 成立
Convergence criterion：令 $\{u_n\}$ 为 Hilbert 空间 $X$ 中的可数正交归一系。那么 $\sum_{n=0}^\infty c_nu_n$ 收敛当且仅当 $\sum_{n=0}^\infty \left\lvert c_n \right\rvert ^2$ 收敛
令 $ \left\{u_n \right\} $ 为可数正交归一系，那么以下两个条件等效：(1) 它在 $X$ 中是完备的。(2) 它的 linear hull（span）在 $X$ 中是稠密的
对 Hilbert 空间 $X$ 中可数完备的正交归一系 $ \left\{u_n \right\} $：(1) Parseval equation：$(u|v) = \sum_{n=0}^\infty \bar c_n(u) c_n(v)$，(2) $ \left\lVert u \right\rVert ^2 = \sum_{n=0}^\infty \left\lvert (u_n|u) \right\rvert ^2$，(3) 如果 $(u_n|u) = 0$ 对所有 $n$ 和固定的 $u\in X$ 成立，那么 $u=0$
对每个 $u\in L_2(-\pi,\pi)$，傅里叶级数收敛。即 $\lim_{m\to\infty}\int_{-\pi}^\pi [u(x)-a_0/2-\sum_k a_k\cos kx + b_k \sin kx]^2 \,\mathrm{d}{x} = 0$

2. 3.5 Unitary Operators

令 $X$ 和 $Y$ 为 $\mathbb K$ 上的希尔伯特空间。算符 $U: X\to Y$ 叫做 unitary 当且仅当 $U$ 是线性的，满射的，且 $(Uv|Uw) = (v|w)$ 对所有 $v, w \in X$ 成立
如果算符 $U$ 是 unitary 的，那么它就是双射的，连续的，且 $ \left\lVert Uv \right\rVert = \left\lVert v \right\rVert $ 对所有 $v\in X$ 成立。而且，存在逆算符 $U^{-1}: Y\to X$，同样是 unitary 的

3. 3.6 The Extension Principle

对 Banach 空间 $X$ 和 $Y$，令线性算符 $A: D\subseteq X\to Y$ 的范数为有限值，$D \subseteq X$ 是稠密线性的。那么 (1) $A$ 可以唯一地拓展（extended）到 $A:X\to Y$ 上，范数仍然为有限。（2）如果 $A$ 在 $D$ 上的紧算符，那么拓展后也是紧算符

4. 3.7 Applications to the Fourier Transformation

$\mathcal S$ 空间：包含所有 $C^\infty$ 函数 $u: \mathbb R \to \mathbb C$，满足 $ \left\lVert u \right\rVert _{p,q} < \infty$ 对所有 $p, q=0,1,\dots$ 成立。其中 $ \left\lVert u \right\rVert _{p,q} := \sup_{x\in\mathbb R} (1+ \left\lvert x \right\rvert ^p) \sum_{n=0}^q \left\lvert u^{(n)}(x) \right\rvert $。极限 $u_n \to u$ 以 $ \left\lVert u \right\rVert _{p,q}$ 为准
$\mathcal S$ 空间中的函数叫做在无穷远处 rapidly decreasing。且满足 $ \left\lvert \int_{-\infty}^\infty u^{(n)}(x) \,\mathrm{d}{x} \right\rvert < \infty$ 对所有 $n = 0, 1,\dots$ 成立。且分部积分的边界项为零
傅里叶变换 $F:\mathcal S\to\mathcal S$ 是线性的连续双射的。反傅里叶变换同样是连续的
傅里叶变换 $F:\mathcal S\to\mathcal S$ 可以唯一地拓展到酉算符 $F: L_2^{\mathbb C}(\mathbb R) \to L_2^{\mathbb C}(\mathbb R)$。注意 $C_0^\infty(\mathbb R)_{\mathbb C} \subseteq \mathcal S \subseteq L_2^{\mathbb C}(\mathbb R)$

5. 3.8 The Fourier Transform of Tempered General Functions

$\mathcal S'$ 定义为所有线性连续映射 $T: \mathcal S\to \mathbb C$。$T$ 叫做 tempered generalized functions 或者 tempered distributions
定义 $(FT)(u) := T(Fu)$（$u \in \mathcal S$）
算符 $F : \mathcal S' \to \mathcal S'$ 是线性且双射的
令 $v : \mathbb R\to\mathbb C$ 为可测的有界函数。算符 $T(u) = \int_{-\infty}^\infty v(x)u(x) \,\mathrm{d}{x} $（$\forall u \in \mathcal S$）。那么 $T \in \mathcal S'$
令 $y \in \mathbb R$，定义 tempered delta distribution $\delta_y$：$\delta_y(u) := u(y)$（$\forall u \in \mathcal S$）。那么 (1) $\delta_y \in \mathcal S'$，(2) $F\delta_y = (2\pi)^{-1/2}``e^{-iky}"$，(3) $(2\pi)^{-1/2} F^{-1} (``e^{-iky}") = \delta_y$。其中定义 $``e^{-iky}"(u) := \int_{-\infty}^\infty e^{-iky} u(k) \,\mathrm{d}{k} $（$\forall u\in\mathcal S$）

6. Problems

Tensor Product $X\otimes Y$