曲线的长度
贡献者： 零穹; addis; ACertainUser
图 1：使用一系列直线段近似曲线
图 2：在一点附近用一直线段近似曲线
直角坐标系中，曲线通常用函数 $y(x)$ 描述。在计算曲线长度时，我们使用一系列直线段来 “近似” 曲线。具体地说，如图 2 所示，我们在曲线上某点 $(x, y)$ 附近用一直线段近似曲线。根据勾股定理，直线段的长度为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{l} = \sqrt{ \,\mathrm{d}{x} ^2 + \,\mathrm{d}{y} ^2} = \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
两边积分得
\begin{equation}
l = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这就是曲线在区间 $[x_1, x_2]$ 的长度。
例 1 抛物线
对抛物线 $y=\frac{x^2}{2p}$，在区间 $[0,x]$ 对应的弧长为
\begin{equation}
\begin{aligned}
l& = \frac{1}{p}\int_{0}^{x}\sqrt{x^2+p^2} \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{1}{p}\bigg[\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p^2}{2} \ln\left(x+\sqrt{x^2+p^2}\right) \bigg]\Bigg\lvert_{0}^{x}\\
&=\frac{x}{2p}\sqrt{x^2+p^2}+\frac{p}{2}\ln\frac{x+\sqrt{x^2+p^2}}{p}~.
\end{aligned}
\end{equation}
你一定很想问，为什么我们不能像计算面积时一样，用无限小矩形的边长来近似曲线的长度呢？这其实是一个小学二年级的、古老的脑筋急转弯问题。你总能把每个矩形的各边都平移到下方与左方。最终你会发现，如图 3 所示，不论你如何细致地划分矩形，你得到的 “长度” 都不是曲线的长度。
图 3：平移矩形的边
1. 含参曲线
若平面上的曲线可以用参数 $t$ 表示为 $x(t), y(t)$（三维情况同理），那么 $t \in [t_1, t_2]$ 对应的一段曲线长度为
\begin{equation}
l = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
推导和上面的过程类似。
例 2 椭圆的弧长
椭圆的参数方程为（式 5 ）
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x(t) = a\cos t\\
&y(t) = b\sin t
\end{aligned}\right. \qquad
(a > b > 0)~.
\end{equation}
由于椭圆的离心率为 $e = \sqrt{1 - b^2/a^2}$，椭圆上 $t \in [0, \varphi]$ 对应的圆弧长度等于
\begin{equation}
\begin{aligned}
l &= \int_0^{\varphi} \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \,\mathrm{d}{t}
= b\int_0^\varphi \sqrt{1 - e^2\sin^2 t} \,\mathrm{d}{t} \\
&= b E(\varphi, e)~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中函数 $E(x)$ 是第二类不完整椭圆积分（
式 4 ）。
椭圆的周长 $c$ 为 $t \in [0, \pi/2]$ 对应弧长的 4 倍，即 $c = 4bE(\pi/2, e)$。
