贡献者： JierPeter; addis
预备知识 引力的弱场近似
，尘埃云的能动张量
，曲率张量场
本节规定度量张量的号差是 $-2$。号差不同会导致 $g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=\pm T_{00}$（式 10 ）中正负号的选择不同，进而导致式 16 和式 17 的正负号选择不同。
1. 爱因斯坦张量
我们直接介绍一个有用的性质，在稍后猜测爱因斯坦场方程的时候我们自然会讨论到它的用处。
定义 1 Ricci 标量曲率
给定流形上的 Ricci 曲率场 $R_{ij}$，则有光滑函数 $R=g^{ij}R_{ij}$，称之为流形上的标量曲率（scalar curvature）。
考虑黎曼曲率张量的第二 Bianchi 恒等式式 20 ：
\begin{equation}
\nabla_\lambda R_{\mu\nu\rho\sigma}+\nabla_\rho R_{\mu\nu\sigma\lambda}+\nabla_\sigma R_{\mu\nu\lambda\rho}=0~.
\end{equation}
等式两端同时乘以 $g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda}$ 后，再考虑到联络对度量的相容性1，得
\begin{equation}
\begin{aligned}
0&=g^{\nu\sigma}g^{\mu\lambda} \left(\nabla_\lambda R_{\mu\nu\rho\sigma}+\nabla_\rho R_{\mu\nu\sigma\lambda}+\nabla_\sigma R_{\mu\nu\lambda\rho} \right) \\
&=g^{\nu\sigma} \left(\nabla^\mu R_{\mu\nu\rho\sigma} - \nabla_\rho R_{\mu\nu\lambda\sigma}g^{\mu\lambda} + \nabla_\sigma R_{\mu\nu\lambda\rho}g^{\mu\lambda} \right) \\
&=g^{\nu\sigma} \left(\nabla^\mu R_{\nu\mu\sigma\rho} - \nabla_\rho R_{\nu\sigma} + \nabla_\sigma R_{\nu\rho} \right) \\
&=\nabla^\mu R_{\nu\mu\sigma\rho}g^{\nu\sigma} - \nabla_\rho R_{\nu\sigma}g^{\nu\sigma} + \nabla_\sigma R_{\nu\rho}g^{\nu\sigma}\\
&=\nabla^\mu R_{\mu\rho} - \nabla_\rho R + \nabla^\nu R_{\nu\rho}\\
&=2\nabla^\mu R_{\mu\rho} - \nabla_\rho R~.
\end{aligned}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\nabla^\mu R_{\mu\rho}=\frac{1}{2}\nabla_\rho R~.
\end{equation}
这么一来，如果我们定义一个张量
\begin{equation}
G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}~.
\end{equation}
那么
式 3 就可以写为
\begin{equation}
\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0~.
\end{equation}
这个张量 $G_{\mu\nu}$ 就被称为爱因斯坦张量（Einstein tensor），由于度量和 Ricci 张量的对称性，它也是对称的。式 5 就是我们稍后要用到的有用性质。
2. 爱因斯坦场方程
引力的弱场近似一节中，我们看到了作为平直时空的微小扰动，带曲率时空中的测地线确实能描述稳定、低速、弱场近似下的引力效应。我们现在希望利用这个原则，将它推广到任意情况下的时空中去。
曲率是引力的体现，而引力是由物质产生的。牛顿引力论中描述物质的引力效应使用的是物质的质量，在牛顿理论中这是时空中的一个光滑函数。从狭义相对论中我们就知道，描述物质分布时统一的、无视坐标系选择的量，应该是四动量和能动张量。那么我们在推测场方程的时候，应该用四动量还是能动张量呢？四动量是 $(1, 0)$ 型张量，能动张量是 $(0, 2)$ 型的，前者的类型是无法和任何曲率张量匹配的。因此我们选择用能动张量来描述物质分布。
初步的猜测是，将 Ricci 张量和能动张量匹配，得到如下场方程：
\begin{equation}
R_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu}~.
\end{equation}
其中 $R_{\mu\nu}$ 是 Ricci 张量场，$T_{\mu\nu}$ 是物质分布的能动张量场，$K$ 是常数。
但这个式子有个问题，它不满足四动量守恒假设。四动量守恒假设体现为 $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$，而如果式 6 要满足四动量守恒，就只有 $K=0$ 一种情况，整个式子就毫无意义了。因此，我们根据式 5 做一点小小的修正，得到：
\begin{equation}
G_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu}~.
\end{equation}
这就是我们所
猜想的，曲率依赖于物质分布的方式。
计算常数 $K$
最后一步就是要得到这个常数 $K$。思路很简单：计算 $K$ 的目的是确定引力如何受物质影响，那么我们就从牛顿引力论中引力产生的规律入手。
取稳定、低速、弱场近似，有牛顿引力方程：
\begin{equation}
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho~.
\end{equation}
其中 $G$ 是牛顿万有引力常数，$\rho$ 是物质质量密度在牛顿时空中的分布，是个光滑函数。
考虑到 $h_{00}=-2\Phi$，$T_{00}=\rho$，式 8 意味着
\begin{equation}
\nabla^2h_{00}=-8\pi G T_{00}~.
\end{equation}
如果我们能用 $h_{00}$ 计算出 $R_{00}$，那么再结合式 9 就可以确定 $K$ 了。由于曲率张量可以用 Christoffel 符号计算出来，而 Christoffel 符号可以由度量张量计算出来，因此我们按以下式 11 到式 15 的思路进行。
在稳定、低速、弱场近似下，$T_{00}=\rho$，而 $h_{00}=-2\Phi$2。度量张量为 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$，其中 $h_{\mu\nu}\ll 1$。考虑到低速近似下，流体压强很小，因此
\begin{equation}
g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}:=T=g^{00}T_{00}=T_{00}~.
\end{equation}
特别要注意，稳定假设：$\partial_0h_{\mu\nu}=0$。
根据式 8 ，誊抄如下：
\begin{equation}
\Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kr}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ki}-\partial_kg_{ij})~.
\end{equation}
稳定、低速、弱场近似下的 Christoffel 符号为：
\begin{equation}
\Gamma^{r}_{ij}=\frac{1}{2}\eta^{kr}(\partial_ih_{jk}+\partial_jh_{ki}-\partial_kh_{ij})~.
\end{equation}
再代入
曲率张量场中的
式 13 ，誊抄如下：
\begin{equation}
R_{jk}=R_{kj}=\partial_i\Gamma^i_{jk}-\partial_j\Gamma^{i}_{ik}+\Gamma^s_{jk}\Gamma^i_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^i_{js}~.
\end{equation}
由于 $h_{\mu\nu}$ 很小，我们忽略掉高阶项 $\Gamma^s_{jk}\Gamma^i_{is}-\Gamma^s_{ik}\Gamma^i_{js}$，得：
\begin{equation}
\begin{aligned}
R_{\mu\nu}=&\partial_\lambda\Gamma^\lambda_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\Gamma^\lambda_{\lambda\nu}\\
=&\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}[\partial_\lambda(\partial_\mu h_{\nu \alpha}+\partial_\nu h_{\alpha\mu}-\partial_\alpha h_{\mu\nu})\\
&-\partial_\mu(\partial_\lambda h_{\nu\alpha}+\partial_\nu h_{\alpha\lambda}-\partial_\alpha h_{\lambda\nu})]~.\\
\end{aligned}
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
R_{00}=&\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}[\partial_\lambda(\partial_0 h_{0 \alpha}+\partial_0 h_{\alpha0}-\partial_\alpha h_{00})\\
&-\partial_0(\partial_\lambda h_{0\alpha}+\partial_0 h_{\alpha\lambda}-\partial_\alpha h_{\lambda0})]\\
=&-\frac{1}{2}\eta^{\lambda\alpha}\partial_\lambda\partial_\alpha h_{00}\\
=&-\frac{1}{2}\nabla^2 h_{00}\\
=&4\pi G\rho\\
=&4\pi GT_{00}~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意，这里的 $\nabla^2$ 是三维空间中的 Labpace 算子，没有时间项，因为稳定假设。
到这里还差一步，我们得出的是 $R_{00}$ 和 $T_{00}$ 的关系，但是方程中使用的是 $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$。由于 $R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$，所以我们可以通过两边都乘以 $g^{\mu\nu}$ 来处理，这时候就要用到 $g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}=T_{00}$ 的假设了。
$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=KT_{\mu\nu}$ 两边同乘以 $g^{\mu\nu}$3，得到 $R=-KT$。因此，我们有：$R_{00}+\frac{1}{2}KTg_{00}=KT_{00}$。
整理得：
\begin{equation}
R_{00}=\frac{1}{2}KT_{00}~.
\end{equation}
联立式 15 和式 16 ，我们得到 $K=8\pi G$。
最终的场方程
由以上讨论，计算出了 $K$ 以后，我们终于可以把爱因斯坦场方程写下来了：
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}~.
\end{equation}
3. 关于符号习惯的讨论
如果选用 $+2$ 的号差，那么式 10 应为
\begin{equation}
g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}:=T=g^{00}T_{00}=-T_{00}~.
\end{equation}
从而
式 16 应为
\begin{equation}
R_{00}=-\frac{1}{2}KT_{00}~.
\end{equation}
于是得到 $K=-9\pi G$，于是爱因斯坦场方程
式 17 应为
\begin{equation}
R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=-8\pi GT_{\mu\nu}~.
\end{equation}
另外，现在 Wikipedia 的文章Einstein Field Equations中默认的场方程形式和式 17 一致，但其符号习惯有两点与本文不同：度规张量使用 $+2$ 号差，而 Ricci 张量的定义式与曲率张量场中差了一个负号，负负得正了。
1. ^ 即 $\nabla_ag_{ij}=0$。
2. ^ 见引力的弱场近似最后的讨论。
3. ^ 其中 $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=1^2+(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2=4$。