爱因斯坦场方程（含宇宙项）
贡献者： int256
预备知识 爱因斯坦场方程
，
第二 Bianchi 恒等式（微分）
在爱因斯坦推出场方程的年代（约 $1916$ 年），人们一般认为宇宙是静止不动的。但根据当时的爱因斯坦场方程 $ G_{\mu \nu} = 8 \pi G T_{\mu \nu}$，人们意识到这使得宇宙是正在膨胀或收缩的。（实际上银河系以外存在其他星系都是在 $1924$ 年被埃德温·哈勃首次发现的。）
为此，由第二 Bianchi 恒等式（微分）不难想到，为了仍保证能量守恒，只能对原本的场方程修正。原本的场方程只剩下一个额外自由度，为此，爱因斯坦在场方程左边加上了一个常数 $\Lambda$ 与度规 $g$ 的乘积，得到了宇宙场方程。
定理 1 爱因斯坦宇宙场方程
$$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = 8\pi G T_{\mu \nu} ~.$$
物理意义是宇宙真空场，修正项 $\Lambda g_{\mu \nu}$ 称为宇宙项。
在修正添加的 $12$ 年后，也就是 $1929$ 年，哈勃发现所有星系都有远离我们的趋势，这使得宇宙是正在膨胀的大概率是正确的，几乎印证了宇宙场方程的正确性。
$1998$ 年，通过观测在爆炸中的白矮星（Ia 型超新星），发现宇宙正在加速膨胀，再次印证了宇宙场方程的正确性。
在这种情况下，可以改写能量-动量张量：
\begin{equation}
{{T_{\nu}'}^{\mu}} = g_{\mu \lambda} T_{\lambda \nu}' = T_{\nu}^{\mu} + \frac{\Lambda}{8 \pi G} \delta_{\nu}^{\mu} ~.
\end{equation}
从而有对应于宇宙学常数的
能量密度与压强
\begin{equation}
\rho_\Lambda = \Lambda/(8 \pi G), P_\Lambda = -\Lambda/(8 \pi G) ~.
\end{equation}
因此，宇宙学常数提供负压强，在当时的认知下，这可以抵消物质、辐射产生的正压强使宇宙保持静态。