引力的弱场近似

贡献者： JierPeter

预备知识　测地线

　　广义相对论的革命性创见在于将引力解释为时空的几何效应。广义相对论将引力视为非力作用，并假设不受力的物质的运动轨迹是测地线，其参数取该物质的本征时间。从测地线一节中的式 3 可知，非平坦的度量在给定图中可能有非零的 Christoffel 符号，使得测地线方程的解不再是这个图中的一条匀速直线，这就启发了我们，如果把时空看成是流形，那么引力可能通过影响联络来造成表面上的 “扭转” 物质轨迹。当然，由于曲率是由联络来定义的，也可以说是引力改变了时空的曲率。

　　以上只是定性说法，那么我们是否真的可以用这种方法来描述引力作用呢？由于牛顿的引力论在低速、弱场且静态的情况下已经被实验反复证实，我们可以从此下手，在低速弱场静态近似下尝试解一个质点的测地线方程，看能不能回归到牛顿的引力方程上¹。

　　在接下来的讨论中，对于真指标，用希腊字母表示在 $\{0, 1, 2, 3\}$ 中遍历指标，用拉丁字母表示在 $\{1, 2, 3\}$ 中遍历指标。也就是说，拉丁字母特指空间分量。

1. 近似假设

　　低速近似意味着，在所讨论的参考系里，质点的四速度非常接近 $ \begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix} $，也就是说，其轨迹的三个空间坐标$x^i$ 满足下式：

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^i\ll \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0\approx 1~. \end{equation}

　　弱场近似意味着，引力的作用非常微弱，也就是说对度量的影响很小。记 $\eta_{\mu\nu}$ 为该参考系中的 Minkowski 度规，那么引力作用下的度规就是 $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$，其中 $ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \ll 1$。考虑到度规的指标升降法则要求 $g^{ai}g_{bi}=\delta^a_b$，结合 $ \left\lvert h_{\mu\nu} \right\rvert \ll 1$，可以计算出 $g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$²。

　　静态近似意味着，引力场不随时间变化，因此 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }g_{\mu\nu}=0$。用另一种记号来写的话，就是 $\partial_0g_{\mu\nu}=0$。

2. 推导测地线方程

　　假设质点的坐标为 $x^\mu$，它们是自身固有时间的函数，也是给定参考系（图）中的时间的函数。当然，$x^0$ 就是参考系中的时间参数本身。

　　参考测地线一节可知，测地线方程为式 3 ：

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu+(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^a)(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^b)\Gamma^\mu_{ab}=0~. \end{equation}

　　注意这里求导用的参数是固有时间 $\tau$，因为我们的假设就是 “质点的轨迹为按固有时间为参数的测地线”。

　　由低速近似的式 1 ，我们可以把测地线方程简化为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu+(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\Gamma^\mu_{00}=0~, \end{equation}

　　也就是说，我们只需要关注 $\Gamma^\mu_{00}$ 的表达。

　　由Christoffel 符号文章中的式 8 可得

\begin{equation} \Gamma^\mu_{00}=\frac{1}{2}g^{k\mu}(\partial_0g_{0k}+\partial_0g_{0k}-\partial_{k}g_{00})~. \end{equation}

　　结合弱场近似 $\partial_0g_{\mu\nu}\approx\partial_0\eta_{\mu\nu}$，上式化简为

\begin{equation} \Gamma^\mu_{00}=-\frac{1}{2}g^{k\mu}\partial_{k}g_{00}\approx-\frac{1}{2}\eta^{k\mu}\partial_{k}h_{00}~. \end{equation}

　　将式 5 代回测地线方程式 3 ，得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^\mu\approx\frac{1}{2}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\eta^{k\mu}\partial_{k}h_{00}~. \end{equation}

　　考虑 $\mu=0$ 项，结合静态近似，再考虑到 $\eta_{\mu\nu}$ 的坐标，则式 6 化为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{\tau} ^2}x^0\approx\frac{1}{2}(\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0)^2\eta^{k0}\partial_{k}h_{00}=0~, \end{equation}

　　因此 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{\tau} }x^0$ 是一个常数。

　　我们将式 6 进行移项，得到

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x^i\approx\frac{1}{2}\eta^{ki}\partial_kh_{00}~. \end{equation}

　　由于 $\eta^{ij}=\delta^{ij}$³，式 8 进一步化简为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x^i\approx\frac{1}{2}\partial^ih_{00}~. \end{equation}

　　这就是低速弱场静态近似下，质点的测地线方程。

3. 与牛顿引力论比较

　　牛顿引力论认为引力是由分布在时空中的一个光滑函数 $\Phi$ 决定的，这个函数就称为引力势。引力对质点的作用被体现为以下式子：

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{t} ^2}x^i=-\partial^i\Phi~. \end{equation}

　　比较式 9 和式 10 可知，只需要令 $h_{00}=-2\Phi$，以上结果在低速、弱场、静态的情况下就可以近似回归到牛顿引力论上。这意味着 $h^{\mu\nu}$ 的其它部分并不影响近似结果，是冗余的自由度。

1. ^ 思路取自 Carroll 的广义相对论讲义 [1]，第 4 章Gravitation中的讨论。
2. ^ 你可以尝试验证：$(\eta_{ai}+h_{ai})(\eta^{bi}-h^{bi})=\eta_{ai}\eta^{bi}+h_{ai}\eta^{bi}-h^{bi}\eta_{ai}-h_{ai}h^{bi}$，其中右边的中间两项由度量的对称性以及 $h^{ab}=h_{ij}\eta^{ia}\eta^{jb}$，可以抵消掉，于是只剩下 $\delta^b_a-h_{ai}h^{bi}$ 项，后者是更高阶的小量，弱场近似下就被忽略了。
3. ^ 注意这里用的是拉丁字母，也就是限制在空间坐标上，那么 $\eta_{ij}$ 就是通常的欧几里得度量。

[1] ^ Sean M. Carroll, Lecture Notes on General Relativity, Institute for Theoretical Physics, UCSB, arXiv:gr-qc/9712019v1 3Dec 1997.