曲率张量场

贡献者： JierPeter; 叶月2_; addis

预备知识　黎曼联络

　　本节中默认 $(M, \nabla)$ 是一个配备了仿射联络 $\nabla$ 的流形 $M$ 。

1. 黎曼曲率张量

　　我们在这里重新誊写一遍仿射联络（切丛）中定义的曲率映射。

定义 1　曲率

　　定义 $R : X (M) \times X (M) \to End (X (M))$ 为：对于任意 $X, Y \in X (M)$ ，有 $R (X, Y) = \nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y]}$ ，称该映射为 $(M, \nabla)$ 的曲率（curvature）。

　　为什么要这么定义曲率呢？平坦流形和弯曲流形有一个关键的区别，那就是平行移动是否依赖路径。平坦的时空中，对一个向量进行平行移动，不管它沿着什么路径走，只要回到原点，它就和出发时是同一个向量；但是不平坦的流形上，如仿射联络（切丛）中地球表面的例子，平行移动后回到原点时是哪个向量，取决于走的是什么道路。

　　本质上，平坦流形上的路径无关性，来自偏微分算子的交换性，即 $\partial_{i} \partial_{j} - \partial_{j} \partial_{i} = 0$ 。那么当平行移动取决于路径时，人们自然想到通过 $\nabla_{i} \nabla_{j} - \nabla_{j} \nabla_{i}$ 的值来研究路径是如何影响平行移动的。由于我们希望讨论的是流形上的张量，而不是局限于给定图上的函数排列，因此又额外加了一项 $\nabla_{[X, Y]}$ ，把它凑成一个张量场。

　　整体来看，曲率就是把两个光滑向量场映射为一个光滑向量场。我们接下来就证明，这样构造的量确实是一个张量场。

定理 1　曲率的线性性

　　令 $f, g, h$ 为 $M$ 上的光滑函数， $X, Y, Z$ 为 $M$ 上的光滑向量场。则我们有： $R (f X, g Y) h Z = f g h \cdot R (X, Y) Z$ 。

　　证明：

　　由于 $\nabla_{f X} = f \nabla_{X}$ ，且 $[f X, g Y] = f g [X, Y] + f (X g) Y - g (Y f) X .$

　　故有

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \nabla_{f X} \nabla_{g Y} - \nabla_{g Y} \nabla_{f X} - \nabla_{[f X, g Y]} \\ = & f \nabla_{X} (g \nabla_{Y}) - g \nabla_{Y} (f \nabla_{X}) - f g \nabla_{[X, Y]} - \nabla_{f (X g) Y - g (Y f) X} \\ = & f g \nabla_{X} \nabla_{Y} + f (X g) \nabla_{Y} - g f \nabla_{Y} \nabla_{X} - g (Y f) \nabla_{X} \\ - f g \nabla_{[X, Y]} - f (X g) \nabla_{Y} + g (Y f) \nabla_{X} \\ = & f g \nabla_{X} \nabla_{Y} - g f \nabla_{Y} \nabla_{X} - f g \nabla_{[X, Y]} \\ = & f g (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y]}), \end{aligned} \end{matrix}

这就证明了

R (f X, g Y) = f g R (X, Y)

。接下来证明

R (X, Y) h Z = h R (X, Y) Z

。

　　考虑到

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \nabla_{X} \nabla_{Y} (h Z) & = \nabla_{X} (h \nabla_{Y} Z + (Y h) Z) \\ = h \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + (X h) \nabla_{Y} Z + (Y h) \nabla_{X} Z + (X Y h) Z, \end{aligned} \end{matrix}

　　故

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X}) h Z = & h \nabla_{X} \nabla_{Y} Z - h \nabla_{Y} \nabla_{X} Z + \\ (X h) \nabla_{Y} Z - (Y h) \nabla_{X} Z + \\ (Y h) \nabla_{X} Z - (X h) \nabla_{Y} Z + \\ (X Y h) z - (Y X h) z \\ = & h (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X}) Z + ([X, Y] h) Z, \end{aligned} \end{matrix}

　　于是最后有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y]}) h Z \\ = h (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X}) Z + ([X, Y] h) Z - h \nabla_{[X, Y]} Z - ([X, Y] h) Z \\ = h (\nabla_{X} \nabla_{Y} - \nabla_{Y} \nabla_{X} - \nabla_{[X, Y]}) Z, \end{aligned} \end{matrix}

　　从而得证 $R (X, Y) h Z = h R (X, Y) Z$ 。

　　证毕。

　　定理 1 意味着，曲率是一个 $M$ 上光滑向量场的线性映射，也就是说，是一个张量场。又因为曲率将三个向量场映射为一个向量场，我们可以在给定图中将曲率映射表示为一组光滑函数 $R_{k i j}^{r}$ ¹，使得 $R (f^{i} {\hat{e}}_{i}, g^{j} {\hat{e}}_{j}) h^{k} {\hat{e}}_{k} = (R_{k i j}^{r} f^{i} g^{j} h^{k}) {\hat{e}}_{r}$ 。从证明过程中也可以看到，补充的 $\nabla_{[X, Y]}$ 的必要性。

　　如果用抽象指标，将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^{i}, y^{j}, z^{k}$ ，那么 $R (X, Y) Z = R_{k i j}^{r} x^{i} y^{j} z^{k}$ 。

曲率张量场的坐标

　　在给定图中，联络 $\nabla$ 由 Christoffel 符号 $Γ_{i j}^{k}$ 完全刻画，那么我们应该也能用 Christoffel 符号计算出曲率张量场的坐标。记住， $Γ$ 中每个元素的类型是 $M$ 上的光滑向量场。

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \nabla_{\partial_{i}} \nabla_{\partial_{j}} \partial_{k} & = \nabla_{\partial_{i}} (Γ_{j k}^{s} \partial_{s}) \\ = (\partial_{i} Γ_{j k}^{s}) \partial_{s} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{r} \partial_{r} \\ = (\partial_{i} Γ_{j k}^{r} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{r}) \partial_{r} . \end{aligned} \end{matrix}

　　考虑到偏微分的交换性， $[\partial_{i}, \partial_{j}] = 0$ ，因此

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} (\nabla_{\partial_{i}} \nabla_{\partial_{j}} - \nabla_{\partial_{j}} \nabla_{\partial_{i}}) \partial_{k} \\ = & (\partial_{i} Γ_{j k}^{r} - \partial_{j} Γ_{i k}^{r} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{r} - Γ_{i k}^{s} Γ_{j s}^{r}) \partial_{r} . \end{aligned} \end{matrix}

　　由定义， $R (f^{i} \partial_{i}, g^{j} \partial_{j}) h^{k} \partial_{k} = (R_{k i j}^{r} f^{i} g^{j} h^{k}) \partial_{r}$ ，故有

\begin{matrix} (7) & R_{k i j}^{r} = \partial_{i} Γ_{j k}^{r} - \partial_{j} Γ_{i k}^{r} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{r} - Γ_{i k}^{s} Γ_{j s}^{r} . \end{matrix}

指标下降后的坐标

　　黎曼曲率张量场经常被用在进行内积的场合中，比如高斯绝妙定理就可以表示为 $K =< R ({\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}) {\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2} >$ 。带上内积运算后，我们也可以把它认为是一个 “将四个向量场映射为一个光滑函数” 的张量，也就是说，指标下降一下：

\begin{matrix} (8) & R_{r k i j} = g_{a r} R_{k i j}^{a} . \end{matrix}

　　由于式中出现了 $g_{a r}$ ，再用式 7 那样纯粹用 Christoffel 符号来描述其坐标已经不方便了，因此我们还得把 Christoffel 符号展开来，用 $g_{a b}$ 表示。

　　以下是详细展开过程，但是式 10 和式 11 都只是中间步骤，请读者酌情选择跳过或跟一遍。最终结果是式 12 。

　　引用式 8 ，誊抄如下：

\begin{matrix} (9) & Γ_{i j}^{r} = \frac{1}{2} g^{k r} (\partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j}) . \end{matrix}

　　代入式 7 得：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} 2 R_{k i j}^{r} = & \partial_{i} (g^{a r} \partial_{j} g_{k a} + g^{a r} \partial_{k} g_{a j} - g^{a r} \partial_{a} g_{j k}) - \\ \partial_{j} (g^{a r} \partial_{i} g_{k a} + g^{a r} \partial_{k} g_{a i} - g^{a r} \partial_{a} g_{i k}) + \\ g^{a s} (\partial_{j} g_{k a} + \partial_{k} g_{a j} - \partial_{a} g_{j k}) g^{b r} (\partial_{i} g_{s b} + \partial_{s} g_{b i} - \partial_{b} g_{i s}) - \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) g^{b r} (\partial_{j} g_{s b} + \partial_{s} g_{b j} - \partial_{b} g_{j s}) \\ = & (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{j} g_{k a}) + g^{a r} \partial_{i} \partial_{j} g_{k a} + \\ (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a j}) + g^{a r} \partial_{i} \partial_{k} g_{a j} - \\ (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{a} g_{j k}) - g^{a r} \partial_{i} \partial_{a} g_{j k} - \\ (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{i} g_{k a}) - g^{a r} \partial_{j} \partial_{i} g_{k a} - \\ (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a i}) - g^{a r} \partial_{j} \partial_{k} g_{a i} + \\ (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{a} g_{i k}) + g^{a r} \partial_{j} \partial_{a} g_{i k} + \\ g^{a s} g^{b r} (\partial_{j} g_{k a} + \partial_{k} g_{a j} - \partial_{a} g_{j k}) (\partial_{i} g_{s b} + \partial_{s} g_{b i} - \partial_{b} g_{i s}) - \\ g^{a s} g^{b r} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) (\partial_{j} g_{s b} + \partial_{s} g_{b j} - \partial_{b} g_{j s}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　最后两行尚未展开，就已经这么长了，这也是为什么我们不用度量张量来表示黎曼张量，而是用 Christoffel 符号的原因。进行指标下降后，我们得到：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} 2 R_{t k i j} = & 2 g_{r t} R_{k i j}^{r} \\ = & g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{j} g_{k a}) + δ_{t}^{a} \partial_{i} \partial_{j} g_{k a} + \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a j}) + δ_{t}^{a} \partial_{i} \partial_{k} g_{a j} - \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{a} g_{j k}) - δ_{t}^{a} \partial_{i} \partial_{a} g_{j k} - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{i} g_{k a}) - δ_{t}^{a} \partial_{j} \partial_{i} g_{k a} - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a i}) - δ_{t}^{a} \partial_{j} \partial_{k} g_{a i} + \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{a} g_{i k}) + δ_{t}^{a} \partial_{j} \partial_{a} g_{i k} + \\ g^{a s} δ_{t}^{b} (\partial_{j} g_{k a} + \partial_{k} g_{a j} - \partial_{a} g_{j k}) (\partial_{i} g_{s b} + \partial_{s} g_{b i} - \partial_{b} g_{i s}) - \\ g^{a s} δ_{t}^{b} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) (\partial_{j} g_{s b} + \partial_{s} g_{b j} - \partial_{b} g_{j s}) \\ = & g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{j} g_{k a}) + \partial_{i} \partial_{j} g_{k t} + \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a j}) + \partial_{i} \partial_{k} g_{t j} - \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{a} g_{j k}) - \partial_{i} \partial_{t} g_{j k} - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{i} g_{k a}) - \partial_{j} \partial_{i} g_{k t} - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a i}) - \partial_{j} \partial_{k} g_{t i} + \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{a} g_{i k}) + \partial_{j} \partial_{t} g_{i k} + \\ g^{a s} (\partial_{j} g_{k a} + \partial_{k} g_{a j} - \partial_{a} g_{j k}) (\partial_{i} g_{s t} + \partial_{s} g_{t i} - \partial_{t} g_{i s}) - \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) (\partial_{j} g_{s t} + \partial_{s} g_{t j} - \partial_{t} g_{j s}) \\ = & g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{j} g_{k a}) + \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a j}) + \partial_{i} \partial_{k} g_{t j} - \\ g_{r t} (\partial_{i} g^{a r}) (\partial_{a} g_{j k}) - \partial_{i} \partial_{t} g_{k j} - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{i} g_{k a}) - \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{k} g_{a i}) - \partial_{j} \partial_{k} g_{t i} + \\ g_{r t} (\partial_{j} g^{a r}) (\partial_{a} g_{i k}) + \partial_{j} \partial_{t} g_{k i} + \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{a t} + \partial_{a} g_{t i} - \partial_{t} g_{i a}) (\partial_{j} g_{k s} + \partial_{k} g_{s j} - \partial_{s} g_{j k}) - \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) (\partial_{j} g_{s t} + \partial_{s} g_{t j} - \partial_{t} g_{j s}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　其中第二个等号是直接把 $g_{r t}$ 乘到展开式中，并按升降法则将 $g_{r t} g^{a r}$ 和 $g_{r t} g^{b r}$ 分别写为 $δ_{t}^{a}$ 和 $δ_{t}^{b}$ ；第三个等号是消去 $δ_{j}^{i}$ 项，进行下标替换；第四个等号删去了互相抵消的两项，按照 $g_{a b}$ 的对称性调整了几个下标的位置，并将倒数第二项的 $s$ 和 $a$ 两个赝指标地位对换、两个括号顺序对换。

　　但是等等！还没完，我们还能进一步简化。我把这一步单独摘出来，是为了不让原式过于臃肿。这步简化是什么呢？考虑到 $g^{a r} g_{r t} = δ_{t}^{a}$ ，且 $\partial_{i} δ_{t}^{a} = 0$ ，因此应用 Leibniz 律可得 $g^{a r} \partial_{i} g_{r t} = - g_{r t} \partial_{i} g^{a r}$ 。把这一点代入式 11 ，即可得如下简化：

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} 2 R_{t k i j} = & 2 g_{r t} R_{k i j}^{r} \\ = & - g^{a r} (\partial_{i} g_{r t}) (\partial_{j} g_{k a}) \\ - g^{a r} (\partial_{i} g_{r t}) (\partial_{k} g_{a j}) + \partial_{i} \partial_{k} g_{t j} \\ + g^{a r} (\partial_{i} g_{r t}) (\partial_{a} g_{j k}) - \partial_{i} \partial_{t} g_{k j} \\ + g^{a r} (\partial_{j} g_{r t}) (\partial_{i} g_{k a}) \\ + g^{a r} (\partial_{j} g_{r t}) (\partial_{k} g_{a i}) - \partial_{j} \partial_{k} g_{t i} \\ - g^{a r} (\partial_{j} g_{r t}) (\partial_{a} g_{i k}) + \partial_{j} \partial_{t} g_{k i} + \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{a t} + \partial_{a} g_{t i} - \partial_{t} g_{i a}) (\partial_{j} g_{k s} + \partial_{k} g_{s j} - \partial_{s} g_{j k}) - \\ g^{a s} (\partial_{i} g_{k a} + \partial_{k} g_{a i} - \partial_{a} g_{i k}) (\partial_{j} g_{s t} + \partial_{s} g_{t j} - \partial_{t} g_{j s}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　简化到这一步，我们就已经可以清晰地看到黎曼张量的对称性了。这些对称性会在本节稍后的小节中集中讨论。

2. Ricci 张量场

　　如果我们固定 $Y, Z$ ，那么 $R (X, Y) Z$ 可以看成是 $X$ 的一个 $C^{\infty}$ -线性映射；更准确地说，对于任意 $p \in M$ ， $R (X, Y) Z$ 都是 $X_{p}$ 的一个 $R$ -线性映射。为了方便，我们记 $T_{Y, Z}$ 是这样的线性映射： $T_{Y, Z} (X) = R (X, Y) Z$ 。那么 $trace T_{Y, Z}$ 就是 $M$ 上的一个光滑函数。这样一来，我们又相当于得到了一个将 $Y$ 和 $Z$ 映射为一个光滑函数的张量场。

　　用抽象指标，将 $X, Y, Z$ 分别表示为 $x^{i}, y^{j}, z^{k}$ ，那么 $T_{Y, Z} (X) = R_{k i j}^{r} y^{j} z^{k} x^{i}$ ，因此 $T_{Y, Z} = R_{k i j}^{r} y^{j} z^{k}$ 。于是， $trace T_{Y, Z} = R_{k i j}^{i} y^{j} z^{k}$ ²

　　而因为我们想把 $trace T_{Y, Z}$ 看成是 $Y, Z$ 的映射，因此最终得到一个张量场 $R_{k i j}^{i}$ ，它把两个光滑向量场映射为一个光滑函数。这个张量场，就是所谓的Ricci 曲率。

定义 2　Ricci 曲率

　　已知曲率张量场 $R_{k i j}^{r}$ ，则定义张量场 $R_{k j} = R_{k i j}^{i}$ ，称之为Ricci 曲率（Ricci curvature）或者Ricci 张量场（Ricci tensor field）。

　　黎曼曲率张量 $R_{k i j}^{r}$ 涉及的向量场太多，而 Ricci 场通过对其进行缩并，得到了一个更简单的张量场，它同样可以很好地描绘流形的性质，同时是爱因斯坦场方程的核心结构。

　　我们上面已经计算过了黎曼曲率 $R_{k i j}^{r}$ 的坐标表达，只需要进行指标替换就可以得到 Ricci 张量场的坐标：

\begin{matrix} (13) & R_{k j} = \partial_{i} Γ_{j k}^{i} - \partial_{j} Γ_{i k}^{i} + Γ_{j k}^{s} Γ_{i s}^{i} - Γ_{i k}^{s} Γ_{j s}^{i} . \end{matrix}

　　结合式 8 ：

\begin{matrix} (14) & Γ_{i j}^{r} = \frac{1}{2} g^{k r} (\partial_{i} g_{j k} + \partial_{j} g_{k i} - \partial_{k} g_{i j}) . \end{matrix}

还可以根据度量场

g_{i j}

计算出 Ricci 曲率场，写起来非常长，在此从略。

3. 曲率张量场的性质

定理 2　反对称性

　　对于任意 $X, Y \in X (M)$ ，有 $R (X, Y) = - R (Y, X)$ 。

　　这一点由黎曼曲率张量的定义直接可得。用抽象指标表示，就是 $R_{c a b}^{i} = - R_{c b a}^{i}$ ，再两边乘以一个 $g_{d i}$ ，得到 $R_{d c a b} = - R_{d c b a}$ 。

定理 3　度量反对称性

　　对于任意 $X, Y, U, V \in X (M)$ ，有 $< R (X, Y) U, V >= - < R (X, Y) V, U >$ 。

　　用抽象指标表示，就是 $R_{c a b}^{i} g_{i d} = - R_{d a b}^{i} g_{i c}$ ，或者写为 $R_{d c a b} = - R_{c d a b}$ 。我们根据式 12 ，交换其中的 $t$ 和 $k$ 指标，就可以证明³这一点。

定理 4　交换对称性

\begin{matrix} (15) & R_{t k i j} = R_{i j t k} . \end{matrix}

　　同样，在式 12 中交换 $i j$ 和 $t k$ 指标即可证明。

定理 5　第一 Bianchi 恒等式（代数）

\begin{matrix} (16) & R_{t k i j} + R_{t i j k} + R_{t j k i} = 0 . \end{matrix}

　　这次我们根据式 7 ，注意到把等号右边分成两组，分别进行下标 $i j k$ 的轮换，即可证明 $R_{k i j}^{r} + R_{i j k}^{r} + R_{j k i}^{r} = 0$ ，两边乘以一个 $g_{r t}$ 即得证。

定理 6　第二 Bianchi 恒等式（微分）

\begin{matrix} (17) & \partial_{a} R_{t k i j} + \partial_{i} R_{t k j a} + \partial_{j} R_{t k a i} = 0 . \end{matrix}

　　用式 7 可以证明上标版本的恒等式 $\partial_{a} R_{k i j}^{r} + \partial_{i} R_{k j a}^{r} + \partial_{j} R_{k a i}^{r} = 0$ ，把 $g_{r t}$ 乘进去，展开⁴，再把式 15 和式 16 代进去，即可得证。

推论 1　缩并形式

　　由式 17 得： $\partial_{i} R^{i}_{j} = \frac{1}{2} \partial_{j} R$ ，也等价于更为常见的： $\partial^{i} R_{i j} = \frac{1}{2} \partial_{j} R$ 。

　　 Proof.

　　为表示简洁，用 “ $_{; a}$ ” 表示 $\partial_{a}$ ，即 $\partial_{i} R^{i}_{j} = R_{j; i}$ 。那么第二 Bianchi 恒等式表示为：

\begin{matrix} (18) & R_{a b c d; e} + R_{a b e c; d} + R_{a b d e; c} = 0 . \end{matrix}

两边都乘以 “

g^{b d} g^{a c}

”，得：

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} g^{b d} g^{a c} R_{a b c d; e} + R_{a b e c; d} + R_{a b d e; c} & = 0 \\ = g^{b d} (R^{c}_{b c d; e} + R^{c}_{b e c; d} + R^{c}_{b d e; c}) \\ = R_{; e} + g^{b d} (- R^{c}_{b c e; d} - R_{b}^{c}_{d e; c}) \\ = R_{; e} - R^{d}_{e; d} + R^{c}_{e; c} . \end{aligned} \end{matrix}

第三个等号处 “

R^{c}_{b d e; c} = - R_{b}^{c}_{d e; c}

” 源自定理 2 的反对称性，两边乘以 “

g_{c k}

” 可证。证毕。

　　以上五条定理，就是黎曼张量最重要的五条对称性，我们将下标修改成顺眼的形式，集中总结如下：

推论 2　黎曼曲率张量的对称性

　　设 $R_{a b c d}$ 是流形 $(M, \nabla)$ 上的黎曼曲率张量（全下标形式）在任意图中的坐标表达，即 $< R (x^{a} \partial_{a}, y^{b} \partial_{b}) v^{c} \partial_{c}, w^{d} \partial_{d} >= x^{a} y^{b} v^{c} w^{d} R_{a b c d}$ ，那么我们有如下对称性：

$R_{a b c d} = - R_{a b d c}$ .
$R_{a b c d} = - R_{b a c d}$ .
$R_{a b c d} = R_{c d a b}$ .
$R_{a b c d} + R_{a c d b} + R_{a d b c} = 0$ .
$\partial_{e} R_{a b c d} + \partial_{c} R_{a b d e} + \partial_{d} R_{a b e c} = 0$ .

　　定理中强调了是在任意的图中都成立，因此也可以直接推广为张量的抽象指标形式。特别地，偏微分算子直接推广为图的坐标方向的联络，于是第二 Bianchi 恒等式变为：

\begin{matrix} (20) & \nabla_{e} R_{a b c d} + \nabla_{c} R_{a b d e} + \nabla_{d} R_{a b e c} = 0 . \end{matrix}

　　由于 Ricci 张量定义为黎曼张量的缩并： $R_{i j} = R_{i a j}^{a} = R_{a i b j} g^{a b}$ ，因此可以直接继承黎曼张量的交换对称性定理 4 ：

定理 7　Ricci 曲率张量的对称性

　　 $R_{i j} = R_{j i}$ 。

符号上的拓展

　　对于任何嵌套矩阵 $T_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}}$ ，定义

\begin{matrix} (21) & T_{[i_{1} i_{2} \dots i_{n}]} = \frac{1}{n} \sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) T_{i_{σ (1)} i_{σ (2)} \dots i_{σ (n)}} . \end{matrix}

具体到

n = 3

的情况，就是

T_{[a b c]} = \frac{1}{3} (T_{a b c} + T_{b c a} + T_{c a b} - T_{a c b} - T_{c b a} - T_{b a c})

。

　　这样，我们还可以把第一 Bianchi 恒等式表示为 $R_{a [b c d]} = 0$ ，而把第二 Bianchi 恒等式表示为⁵ $\nabla_{[e} R_{c d] a b} = 0$ .

1. ^ 注意下标的位置， $h^{k}$ 对应的下标在第一个。
2. ^ 注意，就是把上指标 $r$ 换成了 $i$ ，因为对于矩阵（或者抽象指标表示的线性变换） $a_{j}^{i}$ ，其迹的定义就是 $trace a_{j}^{i} = a_{i}^{i}$ 。
3. ^ 证明难点提示：考虑 $- g^{a r} (\partial_{i} g_{r t}) (\partial_{j} g_{k a}) + g^{a r} (\partial_{j} g_{r t}) (\partial_{i} g_{k a})$ 这一项，由于 $a, r$ 都是赝指标，故也可以同时调换，于是 $- g^{a r} (\partial_{i} g_{r t}) (\partial_{j} g_{k a}) + g^{a r} (\partial_{j} g_{r t}) (\partial_{i} g_{k a}) = - g^{r a} (\partial_{i} g_{a t}) (\partial_{j} g_{k r}) + g^{r a} (\partial_{j} g_{a t}) (\partial_{i} g_{k r})$ 。此时再调换 $t, k$ ，就能得到 $- g^{a r} (\partial_{i} g_{r k}) (\partial_{j} g_{t a}) + g^{a r} (\partial_{j} g_{r k}) (\partial_{i} g_{t a})$ ，刚好变成相反数。其它所有项都需要这样同时调换一下赝指标，从而看出 $t, k$ 调换以后变成相反数。
4. ^ 就是说， $\partial_{a} R_{t k i j} = \partial_{a} (g_{r t} R_{k i j}^{r}) = g_{r t} \partial_{a} R_{k i j}^{r} + R_{k i j}^{r} \partial_{a} g_{r t}$ 。
5. ^ 借用对称性 $R_{a b c d} = R_{c d a b}$ ，并将 $\nabla_{e} R_{c d a b}$ 认为是一个整体 $T_{e c b a d}$ ，这样 $\nabla_{[e} R_{c d] a b} = T_{[e c b] a d}$ 。

曲率张量场

1. 黎曼曲率张量

定义 1 曲率

定理 1 曲率的线性性

曲率张量场的坐标

指标下降后的坐标

2. Ricci 张量场

定义 2 Ricci 曲率

3. 曲率张量场的性质

定理 2 反对称性

定理 3 度量反对称性

定理 4 交换对称性

定理 5 第一 Bianchi 恒等式（代数）

定理 6 第二 Bianchi 恒等式（微分）

推论 1 缩并形式

推论 2 黎曼曲率张量的对称性

定理 7 Ricci 曲率张量的对称性