电偶极子 2

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　电偶极子

　　电偶极子的定义可以拓展到多个电荷的情况或者连续分布的情况

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i q_i~, \end{equation}

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \int \boldsymbol{\mathbf{r}} \rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{V} ~. \end{equation}

　　注意只有被求和或者积分的所有电荷之和为零，偶极子 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 才不随参考系改变

\begin{equation} \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i + \boldsymbol{\mathbf{d}} ) q_i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i q_i + \boldsymbol{\mathbf{d}} \sum_i q_i~. \end{equation}

若电荷之和不为零，我们可以定义一个和质心性质类似的中心

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 = \frac{\sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i q_i}{\sum_i q_i}~. \end{equation}

可以证明这个位置和参考系无关。

\begin{equation} \frac{\sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i + \boldsymbol{\mathbf{d}} ) q_i}{\sum_i q_i} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 + \boldsymbol{\mathbf{d}} ~. \end{equation}

如果以 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 为原点，偶极子为零。

　　那多级展开到底应该关于哪一点进行呢？笔者认为最好的选择是（想像一个巨大的正电荷左右分别有两个等大反号的小电荷，中心当然应该是在大电荷上）

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 = \frac{\sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \left\lvert q_i \right\rvert }{\sum_i \left\lvert q_i \right\rvert }~, \end{equation}

这个位置同样与坐标系选取无关。

1. 匀强电场中电偶极子的势能

\begin{equation} E = - \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

图 1：匀强电场中电偶极子的势能示意图，角度即为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 的夹角

未完成：推导

如图 1 所示，我们选定夹角为 $90^\circ$ 时为势能零点。当角度增大、电偶极子逆时针旋转时，需要外力做功来克服电场力（的力偶）¹，因此势能升高；反之，当角度增减小、电偶极子顺时针旋转时，电场力做功，势能降低。

1. ^ 如果你对力偶不太熟悉，可以这么想：逆时针旋转过程中，正电荷朝着电场反方向运动，因此电场力阻碍正电荷运动，因此需要外力以克服电场力