贡献者： _Eden_; addis
预备知识 电磁场的作用量
，电磁场的动量守恒、动量流密度张量
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
1. 电动力学的守恒量
根据经典场论中能动张量 ${T^\mu}_\nu$ 的定义（注意，由于这里采用的度规是 $(-1,1,1,1)$，所以和经典场论中的定义差一个负号。）
\begin{equation}
T^\mu{}_\nu \equiv -\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi + \mathcal L \delta^\mu{}_\nu~,
\end{equation}
可以写出电磁场的能动张量
\begin{equation}
T^\mu{}_\nu =-\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu A_\rho)} \partial_\nu A_\rho + \mathcal L \delta^\mu{}_\nu~.
\end{equation}
根据诺特定理，能动张量对应着四个守恒流：
\begin{equation}
\partial_\mu T^\mu{}_\nu=0~.
\end{equation}
其中 $T^0{}_0$ 对应着哈密顿量密度，或者说电磁场的能量密度；$T^0{}_i$ 对应着电磁场的动量密度。我们已经推导过电磁场的能量密度为 $\mathcal H=\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2)$
，也推导过电磁场的动量密度为
$\mathcal P=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $。下面可以通过推导
式 2 验证这些结论。
如果先假设没有场源，即电流 4-矢量 $J^\mu = 0$，自由电磁场的拉氏量密度为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{L}&=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}\\
&=-\frac{1}{16\pi}(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)~,
\end{aligned}
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^\mu{}_\nu&=-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu A_\rho)}\partial_\nu A_\rho+\mathcal{L}\delta^\mu{}_\nu\\
&=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}\partial_\nu A_\rho-\frac{1}{16\pi}\delta^\mu{}_\nu F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}~.
\end{aligned}
\end{equation}
或者将 $\nu$ 指标上升：
\begin{equation}
T^{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}\partial^\nu A_\rho - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}~,
\end{equation}
然而现在的 $T^{\mu\nu}$ 是不对称的。为了使 $T^{\mu\nu}$ 成为对称张量，需要增添一项 $\partial_\rho \psi^{\mu\nu\rho}$（$\psi^{\mu\nu\rho}$ 是某个三阶张量，且满足 $\psi^{\mu\nu\rho}=-\psi^{\mu\rho\nu}$，因此 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ 仍然成立），最终可以将 $T^{\mu\nu}$ 写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^{\mu\nu}&=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}(\partial^\nu A_\rho-\partial_\rho A^\nu) - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}\\
&=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}F^\nu{}_\rho - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}~,
\end{aligned}
\end{equation}
现在来计算 $T^{\mu\nu}$ 的每一项。
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^{00}&=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{1}{16\pi}(2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)\\
&=\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2)=\mathcal{H}~,
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^{0i}=T^{i0}&=\frac{1}{4\pi}E^j F^i{}_j=\frac{1}{4\pi}\epsilon_{ijk}E_jB_k\\
&=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mathcal{P}_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
这些恰好对应着电磁场的能量与动量密度。
\begin{equation}
\begin{aligned}
T^{ij}&=\frac{1}{4\pi}F^{i0}F^j{}_0+\frac{1}{4\pi}F^{ik}F^j{}_k-\frac{1}{16\pi}\eta^{ij}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}\\
&=-\frac{1}{4\pi}E_iE_j+\frac{1}{4\pi}\epsilon_{ikl}B_l \epsilon_{jkm}B_m-\frac{1}{16\pi}\delta_{ij}(2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)\\
&=\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2-E_iE_j \right) +\frac{1}{4\pi} \left(\delta_{ij}\delta_{lm}-\delta_{im}\delta_{lj} \right) B_lB_m-\frac{1}{8\pi}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2\\
&=\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2-E_iE_j \right) +\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 - B_iB_j \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
这与麦克斯韦应力张量
式 2 的形式是一致的。
最后根据方程 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ 可以得到 4 个守恒流方程：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) \right) +\nabla \cdot \left(\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) =0~,\\
&\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) +\partial_i T_{ij}=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
现在考虑场源的影响。根据 式 5 ，作用量的完整形式为
\begin{equation}
S=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int \left(-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \right) { \,\mathrm{d}{}} ^4 x`~,
\end{equation}
所以拉格朗日量可以写为
\begin{equation}
\mathcal{L}=-\sum_i \frac{m_i\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i(t))}{\gamma}-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu~.
\end{equation}
现在考虑单个静质量为 $m$ 的粒子对能动张量 $T^{\mu\nu}$ 的影响，设它的运动轨迹为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t)$。设 $\epsilon=m\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t))$。根据能动张量的物理意义，$T_{\rm{part}}^{00}=\gamma \epsilon$，$T_{\rm{part}}^{0i}=T_{\rm{part}}^{i0}=\gamma \epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i}{ \,\mathrm{d}{t} }$。由 $\gamma=\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }$，并根据 $F^{\mu\nu}$ 的洛伦兹协变性，可以得到单个带电粒子的能动张量的表达式：
\begin{equation}
T_{\rm{part}}^{\mu\nu}=\frac{\epsilon}{\gamma}\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }~.
\end{equation}
设电磁场的能动张量为 $T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}$，由式 8 式 9 式 10 给出；而总的能动张量由电磁场和粒子的能动张量两部分组成。现在重写 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$，可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\partial_{\mu}T^{\mu\nu}&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\partial_\mu T_{\rm{part}}^{\mu\nu}\\
&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\partial_\mu \left(\frac{\epsilon}{\gamma}\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) \\
&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} }\partial_\mu \left(\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) +\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\partial_\mu \left(\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} } \right) \\
&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} }\partial_\mu U^\nu+\frac{m}{q}U^\nu\partial_\mu J^\mu \\
&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
这意味着电磁场的能量和动量会与粒子的能量动量发生交换，但
粒子与场的总能量和总动量是守恒的。
进一步，根据洛伦兹力公式式 22 ，
\begin{equation}
\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=\rho F^\mu{}_\nu U^\nu \frac{ \,\mathrm{d}{\tau} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\rho F^\mu{}_\nu\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=F^\mu{}_\nu J^\nu ~.
\end{equation}
代入
式 15 将得到
\begin{equation}
\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}=-F^{\mu\nu}J^\nu~.
\end{equation}
等式左边包含两部分：一项是场的能量动量密度随时间变化率，另一项是能量动量流的散度；等式右侧代表的是电磁场对电荷作的功。因此
式 17 相当于电动力学的能量动量守恒律。