贡献者： _Eden_
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
1. 自由电磁场的作用量
我们先考虑没有电流电荷密度分布的时空，仅考虑自由电磁场的作用量。我们要求电磁场的作用量满足洛伦兹不变性，是个洛伦兹标量，它可以由电磁场张量来构造：
\begin{equation}
S=\int {\mathcal L} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x=-\frac{1}{16\pi}\int F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}{ \,\mathrm{d}{}} ^4 x ~,
\end{equation}
其中 $\mathcal L=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ 为自由电磁场的拉氏密度。由于 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu A^\mu$，对整个四维时空上的 $A^\mu$ 做一个变分 $\delta A^\mu$，
根据最小作用量原理，$\delta S=0$。由此可以推出自由电磁场的变化方程
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta S&=-\frac{1}{16\pi}\int (\delta F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+F^{\mu\nu}\delta F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\
&=-\frac{1}{16\pi}\int (2\delta (\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)) F_{\mu\nu}){ \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\
&=-\frac{1}{4\pi}\int F_{\mu\nu}\partial^\mu \delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\
&=\frac{1}{4\pi}\int \delta A^\nu\partial^\mu F_{\mu\nu} { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \\
&=0\\
\Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=0~.
\end{aligned}
\end{equation}
上面的推导过程中用了分部积分，需要限制 $\delta A^\nu$ 在足够大的边界上消失。由最小作用量推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation}
\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =0,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=0~.
\end{equation}
麦克斯韦方程组中的另两个方程 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t}=0,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 已经蕴含在了 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 中
1。
2. 电磁场的作用量
现在考虑带电粒子与电磁场的相互作用，需要引入场源的作用量式 6 。我们设想电荷是连续分布在空间的，为此引入电荷密度 $\rho(x^\mu)$，电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{J}} (x^\mu)$。那么单个带电粒子的 $q( \,\mathrm{d}{x} ^\mu/ \,\mathrm{d}{t} )$ 就相当于 $\rho ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu / \,\mathrm{d}{t} ) { \,\mathrm{d}{}} ^3 x=J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x$，其中 $J^\mu=(\rho,J_x,J_y,J_z)$。电磁场中粒子的作用量可以改写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
S&=-\sum{m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}}+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^3 x \,\mathrm{d}{t} \\
&=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int A_\mu J^\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x~.
\end{aligned}
\end{equation}
再引入自由电磁场的作用量
式 1 ，就可以得到电磁场的作用量的完整形式：
\begin{equation}
S=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int \left(-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \right) { \,\mathrm{d}{}} ^4 x~.
\end{equation}
考虑固定四维时空上的 $J^\mu$ 不变，对 $A_\mu$ 做一个变分 $\delta A_\mu$，由最小作用量原理，$\delta S=0$，由此可以推出有场源的情况下的麦克斯韦方程组：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta S&=\frac{1}{4\pi}\int (\partial^\mu F_{\mu\nu})\delta A^\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x +\int J^\mu \delta A_\mu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\
&=\frac{1}{4\pi}\int (\partial_\mu F^{\mu\nu}+4\pi J^\nu)\delta A_\nu { \,\mathrm{d}{}} ^4 x\\
\Rightarrow &\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu~.
\end{aligned}
\end{equation}
由最小作用量原理推出的 $\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu$ 对应着麦克斯韦方程组中的
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =4\pi \rho,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} -\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}=4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} ~.
\end{equation}
1. ^ 由 $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ 可以推出 Bianchi 恒等式：$\partial_{\mu}F_{\nu\rho}+\partial_{\nu}F_{\rho\mu}+\partial_{\rho}F_{\mu\nu}=0$，由此可以导出另两个麦克斯韦方程。