贡献者： _Eden_; JierPeter
预备知识 张量的分类
，洛伦兹规范
，闵可夫斯基空间
，抽象指标
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
一个参考系中的电磁场需要用六个实函数数来刻画，三个用来刻画电场，三个用来刻画磁场。六个实数太过复杂，我们希望寻求一种简单的方式来简化表达。把六个实数合成一个对象的方法，最直接的当然是使用一个六维向量——不过这样并不能带来实质上的简化。实践中我们使用的其实是一个反对称张量场，用它来表示电磁场。
在狭义相对论里，时空是一个线性空间，事件的时空坐标随着基的不同而不同，而不同的基就代表不同的观察者，事件的坐标分量就是观察者的测量值。
和向量一样，任何张量只有给定了空间的基，才有 “坐标分量” 的概念。换句话说，只有有了观察者，才有观察者的测量值。张量本身不随基的选择而改变，改变的只是坐标分量。对于电磁场张量来说，其坐标分量，或称观察者的测量值，就是电场强度和磁场强度的空间分量，一共六个实函数。
1. 电磁场张量的定义
定义 1 电磁场张量
$F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$，其中 $\partial^{\mu}=(-\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$,$A^{\mu}=(\phi,A_x,A_y,A_z)$，其中 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 满足洛伦兹规范 $\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$1，洛伦兹规范在这里可以简写为 $\partial_\mu A^{\mu}=0$。
从上面的定义式可以看出，电磁场张量 $F^{\mu\nu}$ 是个反对称张量2，且具有洛伦兹协变性，即满足
\begin{equation}
\begin{aligned}
&F'^{\mu\nu}={L^\mu}_\alpha {L^\nu}_\beta F^{\alpha\beta}~,\\
&F'_{\mu\nu}={L_\mu}^\alpha {L_\nu}^\beta F_{\alpha\beta}~.
\end{aligned}
\end{equation}
电磁场张量是一个二阶张量，为了方便可以写成矩阵形式（假定 $F^{\mu\nu}$ 的第一个指标为行数，第二个指标为列数）。矩阵的元素是关于 $\phi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的表达式，所以它反映了电磁场的性质，进一步地式 1 反映了电磁场的变化规律。
根据 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi-\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t}~,
\\
& \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以对任意的 $i=1,2,3$（不妨记 $x_1=x,x_2=y,x_3=z$）。
\begin{equation}
\begin{aligned}
&F^{0i}=-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x_i}=E_i~,\\
&F^{ij}=\frac{\partial A_j}{\partial i}-\frac{\partial A_i}{\partial j}=\epsilon_{ijk}B_k~.
\end{aligned}
\end{equation}
于是我们有下面的定义，描述了电磁场张量的坐标分量与坐标系对应的电磁场分量的联系。
定义 2 电磁场张量
一个伪黎曼流形上的电磁场是一个二阶反对称张量 $F^{\mu\nu}$。若在某基下其分量为 $F^{01}=E_x, F^{02}=E_y, F^{03}=E_z, F^{23}=B_x, F^{31}=B_y, F^{12}=B_z$，那么在这个基对应的观察者所观察到的电场就是 $ \begin{pmatrix}E_x, E_y, E_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，磁场就是 $ \begin{pmatrix}B_x, B_y, B_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $。
电磁场张量可以写成以下矩阵形式：
\begin{equation}
F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix}
&0, &E_x, &E_y, &E_z\\
&-E_x, &0, &B_z, &-B_y\\
&-E_y, &-B_z, &0, &B_x\\
&-E_z, &B_y, &-B_x, &0
\end{pmatrix} _{\mu\nu}~.
\end{equation}
或者用
列维—奇维塔符号 来表示：
\begin{equation}
F^{0 i}=-F^{i 0}=E_i,\ F^{ij}=\epsilon_{ijk}B_k~.
\end{equation}
即假定 $F^{\mu\nu}$ 的第一个指标为行数，第二个指标为列数3。
用反对称张量来表示电磁场的方式不止一种，还可以使用以下定义的对偶张量。
定义 3 电磁张量的对偶张量
电磁场张量 $F^{\mu\nu}$ 的对偶张量，记为 $G^{\mu\nu}$。如果 $F^{\mu\nu}$ 在某基下的分量为 $F^{01}=E_x, F^{02}=E_y, F^{03}=E_z, F^{23}=B_x, F^{31}=B_y, F^{12}=B_z$，那么有 $G^{01}=-B_x, G^{02}=-B_y, G^{03}=-B_z, G^{23}=E_x, G^{31}=E_y, G^{12}=E_z$。
对偶张量有一个简单的记法：
\begin{equation}
G_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma}~.
\end{equation}
其中 $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ 是一个四维反对称张量，$(\mu\nu\rho\sigma)$ 为偶排列的时候 $\epsilon$ 取 $1$，如果是奇排列则 $\epsilon$ 取 $-1$，其他情况（有重复指标的时候）$\epsilon$ 取 $0$。由于爱因斯坦求和约定，这里对重复指标 $\rho,\sigma$ 进行求和，所以要乘以系数 $\frac{1}{2}$。
也可以用列维—奇维塔符号 来表示：
\begin{equation}
G^{0i}=-G^{i0}=-B_i,\ G^{ij}=\epsilon_{ijk}E_k~.
\end{equation}
对偶张量，用类似式 4 的方式写出来，就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
G^{\mu\nu}=\eta^{\mu\mu'}\eta^{\nu\nu'}G_{\mu'\nu'}=
\begin{pmatrix}
&0, &-B_x, &-B_y, &-B_z\\
&B_x, &0, &E_z, &-E_y\\
&B_y, &-E_z, &0, &E_x\\
&B_z, &E_y, &-E_x, &0
\end{pmatrix} _{\mu\nu}~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 电磁场张量的参考系变换
电磁场张量是二阶张量，所以它满足四维时空下的变换规律。
只需要将洛伦兹变换的矩阵形式式 14 代入式 1 就可以得到电磁场在参考系变换下的结果。
在自然单位制下，$c=1$，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} /c= \boldsymbol{\mathbf{v}} $,$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=1/\sqrt{1-v^2}$，电磁场的变换公式为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} '=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,\\
\boldsymbol{\mathbf{B}} '=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里我们先推导电场的变换公式。根据电磁场张量的定义和变换公式，$E'_i=F'^{0i}={L^0}_\mu {L^i}_{\nu} F^{\mu\nu}$，所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
E'_i&={L^0}_\mu {L^i}_\nu F^{\mu\nu}\\
&={L^0}_0 {L^i}_j F^{0j}+{L^0}_j {L^i}_0 F^{j0} + {L^0}_j {L^i}_k F^{jk} \\
&=\gamma[\delta_{ij}+(\gamma-1) v_iv_j/v^2]E_j+\gamma v_j\gamma v_i (-E_j)\\
&\ \ \ -\gamma v_j [\delta_{ik}+(\gamma-1)v_i v_k/v^2]\epsilon_{jkl}B_l\\
&=\gamma E_i+(\gamma^2-\gamma)\frac{v_iv_jE_j}{v^2}-\gamma^2v_iv_jE_j-\gamma v_j\epsilon_{jil}B_l -(\gamma^2-\gamma)\frac{v_iB_l}{v^2}\epsilon_{jkl}v_jv_k \\
&=\gamma E_i+(1-\gamma)\frac{v_iv_jE_j}{v^2}-\gamma\epsilon_{ijk}B_jv_k~.
\end{aligned}
\end{equation}
改写成矢量形式，就可以得到电场的变换公式
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} '&=\gamma \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{1-\gamma}{v^2} \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\gamma \boldsymbol{\mathbf{B}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} \\
&=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )+\frac{1-\gamma}{1-1/\gamma^2} \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} )\\
&=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果想得到磁场的变换公式，根据麦克斯韦方程组的对称性，我们只需要将上面的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 替换为 $- \boldsymbol{\mathbf{E}} $，就可以得到
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{B}} '=\gamma ( \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \times B) \boldsymbol{\mathbf{v}} ~.
\end{equation}
3. 闵可夫斯基时空中的电动力学
场源的描述
定义 4 电流密度 4-矢量
在闵可夫斯基空间中，电流密度被表示为一个 4-矢量 $J^\mu$。如果在某观察者看来，电荷密度的分布是 $\rho$，而电流密度的分布是 $ \begin{pmatrix}J_x, J_y, J_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，那么在这个观察者的坐标系下，电流密度 4-矢量的坐标就是 $ \begin{pmatrix}\rho, J_x, J_y, J_z\end{pmatrix} $。
电流密度 4-矢量应当满足连续性条件（或者说电荷守恒）：
\begin{equation}
\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{J}} =-\frac{\partial\rho}{\partial t}~.
\end{equation}
即
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x^i}J^i+\frac{\partial}{\partial t}\rho=0~,
\end{equation}
或者可以写成协变形式：
\begin{equation}
\partial_\mu J^\mu=0~.
\end{equation}
四维形式的麦克斯韦方程组
利用四维形式的电磁场张量和电流密度 4-矢量，我们可以将麦克斯韦方程组表示为以下两个方程
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu\\
&\partial^\mu G_{\mu\nu}=0
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
注意式 16 中的真指标是 $\nu$，赝指标是 $\mu$（根据爱因斯坦求和约定，对重复指标进行求和）。第二个方程也可以用 $\partial^\mu F^{\nu\rho}+\partial^\nu F^{\rho\mu}+\partial^\rho F^{\mu\nu}=0$ 代替。
式 16 的第一个方程是一个四维矢量方程，可以拆成一个标量方程和一个三维矢量方程，其中标量方程就是 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =-4\pi \rho$，而矢量方程就是 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} +\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} /\partial t$。
类似地，式 16 的第二个方程分别代表了 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t$。
详细推导：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial_\mu F^{\mu 0}=-4\pi J^0=-4\pi \rho\\
\Rightarrow &\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =4\pi \rho ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial_\mu F^{\mu i}=-4\pi J^i=-4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} _i\\
\Rightarrow & \frac{\partial E_i}{\partial t} +\partial_k\epsilon_{kij}B_j=-4\pi J_i\\
\Rightarrow &\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}-\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =-4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} \\
\Rightarrow &\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial^\mu G_{\mu 0} = 0\\
\Rightarrow &\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\partial^\mu G_{\mu i} = 0\\
\Rightarrow &-\frac{\partial B_i}{\partial t}+\partial_k \epsilon_{kij} \boldsymbol{\mathbf{E}} _j = 0\\
\Rightarrow &\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t}~.
\end{aligned}
\end{equation}
电荷受力
对于一个带电荷 $q$ 的粒子，如果它在某参考系下的 4-速度为 $U^\mu=(\gamma,\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z)$，那么在电磁场 $F^{\mu\nu}$ 中，该电荷受到的闵可夫斯基力为
\begin{equation}
K^{\mu}=q {F^{\mu}}_\nu U^\nu~.
\end{equation}
注意，其中 $U_\mu=\eta_{\mu\nu}U^\nu$，而 $\eta_{\mu\nu}$ 是闵可夫斯基度规。换句话说，如果粒子在该参考系下的 3-速度为 $ \begin{pmatrix}v_x, v_y, v_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $，那么有 $U_\mu=\gamma \begin{pmatrix}-1, v_x, v_y, v_z\end{pmatrix} $。$K^\mu$ 是一个四矢量，也具有洛伦兹协变性，事实上它正比于 4-速度关于原时的导数，比例系数为 $m$，即粒子的静质量。
\begin{equation}
m\frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }=K^\mu=q {F^{\mu}}_\nu U^\nu~,
\end{equation}
我们把式 22 分为一个标量方程和一个三维向量方程。
标量方程展开来就是
\begin{equation}
\begin{aligned}
m\frac{ \,\mathrm{d}{\gamma} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }&=q \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \gamma \boldsymbol{\mathbf{v}} \\
\Rightarrow\frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma m \right) }{ \,\mathrm{d}{\tau} }&=\gamma q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\
\Rightarrow \frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma m \right) }{ \,\mathrm{d}{t} }&=q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意到 $\gamma m$ 是粒子的
动质量，$q \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 对应的是电场对粒子做的功（磁场对粒子不做功）。所以该方程对应经典物理中的
功能原理：$ \,\mathrm{d}{E} / \,\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} $。
向量方程展开则得到的是
\begin{equation}
\begin{aligned}
&m\frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma v_i \right) }{ \,\mathrm{d}{\tau} } =K^i=q{F^i}_0U^0+q{F^i}_jU^j=q\gamma E_i+q\epsilon_{ijk} \gamma v_j B_k
\\
\Rightarrow &\frac{ \,\mathrm{d}{P} _i}{ \,\mathrm{d}{\tau} }= \boldsymbol{\mathbf{K}} =q\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\
\Rightarrow &\frac{ \,\mathrm{d}{P} _i}{ \,\mathrm{d}{t} }= \boldsymbol{\mathbf{F}} =q( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
它对应经典物理中的
动量原理，其中力是洛伦兹力。
1. ^ 在 SI 单位制下，洛伦兹规范应当写为 $\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$。而这里用的是自然单位制，将 $1/c^2$ 略去。
2. ^ “反对称” 意味着 $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$。
3. ^ 为了方便，我们常借用二阶矩阵来表示电磁张量，但是要记住，这是一个不规范的表达。