全导数（简明微积分）

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　复合函数的偏导

　　若多元函数包含若干个变量（以下以 $f (x, y, t)$ 为例），我们知道它可以对其中任意一个变量求偏导，即 $\partial f / \partial x$ ， $\partial f / \partial y$ ， $\partial f / \partial t$ ，注意求偏导时其余两个变量不变。现在若把 $x, y$ 看做 $t$ 的函数，那么 $f$ 归根结底也是 $t$ 的函数 $f [x (t), y (t), t]$ ，我们可以将其对 $t$ 求导。为了强调这与对 $t$ 求偏导有所不同，我们把得到的函数叫做全导数。

　　与偏微分中的链式法的推导类似，我们先来看函数的全微分

\begin{matrix} (1) & d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \frac{\partial f}{\partial t} d t . \end{matrix}

而根据

x, y

与

t

的微分关系

\begin{matrix} (2) & d x = \frac{d x}{d t} d t d y = \frac{d y}{d t} d t . \end{matrix}

代入上式得

\begin{matrix} (3) & d f = (\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t}) d t . \end{matrix}

而若把

f

看做

t

的一元函数，又应该有全微分关系

\begin{matrix} (4) & d f = \frac{d f}{d t} d t . \end{matrix}

对比以上两式可得

f

关于

t

的全导数为

\begin{matrix} (5) & \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial f}{\partial t} . \end{matrix}