贡献者： addis
- 本文处于草稿阶段。
- 微分形式应当形如 $ \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $
预备知识 平面旋转变换
，斯托克斯定理（简明微积分）
，雅可比矩阵和行列式
考虑二维的散度定理
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{f}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \,\mathrm{d}{l} = \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} \,\mathrm{d}{s} ~.
\end{equation}
其中 $ \,\mathrm{d}{l} $ 是曲线上的一个小线段，曲线逆时针为证。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 是该线段的法向量，向外为正。
具体应该如何计算呢？假设曲线的参数方程为 $x(t), y(t)$，于是 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = (x'(t) \,\mathrm{d}{t} , y'(t) \,\mathrm{d}{t} )$，旋转 $90^\circ$后变为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \,\mathrm{d}{l} = (y'(t) \,\mathrm{d}{t} , -x'(t) \,\mathrm{d}{t} )$。令矢量场为 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} = (f_x(x,y), f_y(x,y))$，于是式 1 变为
\begin{equation}
\oint [f_x(x(t),y(t)) y'(t) - f_y(x(t),y(t)) x'(t)] \,\mathrm{d}{t}
= \int \left( \frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y} \right) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~,
\end{equation}
等式左边也可以简单地记为
\begin{equation}
\oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} = \oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - \oint f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
其中 $f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} - f_y(x,y) \,\mathrm{d}{x} $ 就是一个
微分形式。注意右边的两个环积分中，分别可以把曲线分为两部分，例如 $\oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} $ 中可以把曲线延正方向 $y$ 坐标增加的部分 $I^+$ 和减小的部分 $I^-$。此时可以直接用 $y$ 作为参数 $t$，$x = x(y)$，那么
\begin{equation}
\oint f_x(x,y) \,\mathrm{d}{y} = \int_{I^+} f_x(x(y),y) \,\mathrm{d}{y} + \int_{I^-} f_x(x(y),y) \,\mathrm{d}{y} ~.
\end{equation}
在第一个积分中，$ \,\mathrm{d}{y} $ 是正的，第二个中 $ \,\mathrm{d}{y} $ 是负的。
未完成：面积分，每个曲面积分可以分为三个积分，再分为两个方向的积分。另外弄一个球坐标曲面积分的例子，引入雅可比行列式。此时两个面积分就可以合并为一个，因为雅可比行列式的正负号会自动处理朝向。此时要强调 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 的顺序很重要
1. 微分形式
定义 1 微分形式
在 $R^N$ 中，令 $k < N$，那么 $k$-微分形式（$k$-differential form），简称 $k$-形式，记为
\begin{equation}
\omega = \sum_{i_1,\dots,i_k} f_{i_1,\dots,i_k}(x_1,\dots,x_k) \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} ~,
\end{equation}
其中求和中每个 $i$ 从 1 到 $k$ 变化。
定义一个 $k$ 维曲面，用参数方程表示为 $x_i(u_1,\dots,u_k)$（$i=1,\dots,N$）。微分形式 $\omega$ 在该曲面上的积分为
\begin{equation}
\sum_{i_1,\dots,i_k} \oint f_{i_1,\dots,i_k}(x_1(u_1,\dots,u_k),\dots,x_k(u_1,\dots,u_k)) \frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_1,\dots,u_k)} \,\mathrm{d}{u_1} ,\dots, \,\mathrm{d}{u_k} ~,
\end{equation}
其中 $\frac{\partial(\dots)}{\partial(\dots)}$ 是
雅可比行列式，$\frac{\partial(\dots)}{\partial(\dots)} \,\mathrm{d}{u_1} ,\dots, \,\mathrm{d}{u_k} $ 是曲面上的有向表面积。
根据雅可比行列式的性质，当 $ \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} $ 中有任意两个下标相同，则对应的积分为零。交换任意两个 $ \,\mathrm{d}{x_i} $，积分取相反数。
2. 微分形式的微分
定义式 5 的微分为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\omega} = \sum_{i_1,\dots,i_k}\sum_{j=1}^N \frac{\partial}{\partial{x_j}} f_{i_1,\dots,i_k}(x_1,\dots,x_k) \,\mathrm{d}{x_j} \,\mathrm{d}{x_{i_1}} \dots \,\mathrm{d}{x_{i_k}} ~.
\end{equation}
未完成：举一个斯托克斯定理的例子