贡献者： 叶月2_; JierPeter; addis
1. 正规子群
在上文中，我们在群上定义了元素和子集间、子集和子集间的运算，还知道了左陪集是一种等价类划分。假设我们有群 $G$ 和它的子群 $H$，能不能用 $H$ 的全部左陪集当元素，构成一个集合，并在上面定义一个和 $G$ 的运算相关的群运算呢？
最直接的想法，就是直接进行左陪集之间的运算：对于左陪集 $A$ 和 $B$，有 $AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$。但是一般来说，如果 $G$ 的运算不是可交换的，我们这样算出来的 $AB$ 甚至不一定是一个左陪集，那么这个左陪集之间的运算甚至不满足封闭性，自然不能是个群运算了。
如何让左陪集之间的运算满足封闭性呢？
假设我们有 $x, y\in G$，它们对应的左陪集分别是 $xH$ 和 $yH$。由于 $xH=\{xh_1|h_1\in H\}$，$yH=\{yh_2|h_2\in H\}$，那么根据定义有：$xHyH=\{xh_1yh_2|h_1, h_2\in H\}$。每一个 $xh_1yh_2$ 都在左陪集 $xh_1yH$ 中，我们希望每一个 $h_1$ 对应的 $xh_1yH$ 都是同一个左陪集。
在定理 2 的证明中我们提到了一个判断两元素是否在同一个左陪集中的方法。现在假设 $xh_1y$ 和 $xh_2y$ 在同一个左陪集里，应用判断方法得到：$(xh_1y)^{-1}(xh_2y)\in H$。由于 $(xh_1y)^{-1}=y^{-1}h_1^{-1}x^{-1}$，我们有：
\begin{equation}
y^{-1}h_1^{-1}x^{-1}xh_2y\in H~,
\end{equation}
也就是说
\begin{equation}
y^{-1}h^{-1}_1h_2y\in H~.
\end{equation}
由于这里的 $y$ 是 $G$ 中任意元素，$h_1$ 和 $h_2$ 是 $H$ 中任意元素，故我们要求 $y^{-1}Hy\subseteq H$ 对于任何 $y\in G$ 都成立，其中 $y^{-1}Hy = \left\{y^{-1}h_i y|h_i \in H \right\} $。巧的是，让 $H$ 满足了这个要求之后，封闭性就满足了。
习题 1
证明：对于群 $G$ 和它的子群 $H$，如果 $H$ 满足对于任意的 $g\in G$，都有 $g^{-1}Hg\subseteq H$，那么对于任意的 $x, y\in G$，$xHyH$ 中的元素都在同一个左陪集中。
推论 1
由于群运算的唯一性，从 $g^{-1}Hg\subseteq H$ 我们还可以推知 $|g^{-1}Hg|=|H|$，因此所需要的条件等价于 $g^{-1}Hg=H$，即 $Hg = gH$，也就是左陪集等于右陪集。
定义 1 正规子群
满足推论 1 中条件的子群，被称作正规子群（normal subgroup）。我们把 “$H$ 是 $G$ 的正规子群” 简记为 $H\vartriangleleft G$ 或 $G\vartriangleright H$1。
现在我们考察一下，如果 $H$ 满足了条件，那么在左陪集的集合中通过 $G$ 的运算而导出的集合间的运算，是不是一个群运算。
- 封闭性：由习题 1 知，该运算有封闭性。
- 结合性：由于 $G$ 的运算具有结合性可知，设 $x, y, z\in G$，那么 $(xh_1yh_2)zh_3=xh_1(yh_2zh_3)$ 对任意的 $h_n\in H$ 都成立，故而 $(xHyH)zH=xH(yHzH)$ 成立。
- 单位元存在性：$H$ 就是单位元。
- 逆元存在性：$xHx^{-1}H=HH=H$。
这样一来，在左陪集的集合上也诱导了一个群运算，构成了一个群。我们把这个群叫做群 $G$ 模去正规子群 $H$ 的商群（quotient group），记作 $G/H$。由拉格朗日定理（定理 3 ）的证明过程可知，$|G/H|={|G|}/{|H|}$。
例 1 $\mathbb{Z}$ 的正规子群和商群
$n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的正规子群，这对任何 $n$ 都成立。证明很简单，因为 $\mathbb{Z}$ 是交换群，所以元素位置可以自由互换，因此 $g^{-1}Hg=g^{-1}gH=H$ 对任何子集都成立，因此交换群的子群都是正规子群。
考虑 $\mathbb{Z}$ 模去 $3\mathbb{Z}$ 得到的商群，我们记为 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}_3$。这个商群一共有 $3$ 个元素，每个元素都是一个左陪集：$0+3\mathbb{Z}=3\mathbb{Z}=\{\cdots, -6, -3, 0, 3, 6, \cdots\}$，$1+3\mathbb{Z}=\{\cdots, -5, -2, 1, 4, 7, \cdots\}$ 和 $2+3\mathbb{Z}=\{\cdots, -4, -1, 2, 5, 8, \cdots\}$。换句话说，集合 $\mathbb{Z}_3=\{3\mathbb{Z}, 1+3\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}\}$。
注意，虽然 $\mathbb{Z}_3$ 的元素是集合，我们仍然要把它们看成一个个的元素。事实上，$\mathbb{Z}_n$ 的群结构和一个有着 $n$ 个数字的钟表（例 2 ）是一模一样的，因此我们也用 $\mathbb{Z}_n$ 来表示循环群。
例 2 置换群和交错群
我们知道，置换群 $S_n$（例 3 ）是 $n$ 个元素的变换所构成的群。为了简洁地表达变换，我们可以用以下记号：
$(1,2,3)$ 表示一个变换，它是将 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $3$ 号桶，$3$ 号桶中的又放入 $1$ 号桶。显然，$(2,3,1)$ 表示的是同一个变换。$(1,2,3)(4,5)$ 表示的是先进行 $(1,2,3)$ 变换，再进行 $(4,5)$ 变换。显然，这两个变换没有涉及相同数字，所以它们是彼此分离的，可以交换：$(1,2,3)(4,5)=(4,5)(1,2,3)$。
如果两个变换有相同数字，那么我们可以把它们合并为一个括号：$(1,2)(2,3)$ 代表先 “把 $1$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶”，再 “把 $2$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶，$3$ 号桶中的放入 $2$ 号桶”，最终结果是 “$1$ 号桶中的球放入 $3$ 号桶，$2$ 号桶中的放入 $1$ 号桶，$3$ 号桶中的球放入 $2$ 号桶”，也就是说，$(1,2)(2,3)=(1,3,2)$。注意 $(1,2,3)\not=(1,3,2)$。
只涉及到两个元素之间的变换显然是最简单的，我们称之为对换。一切变换都是由若干个对换相乘（复合运算）得到的。可以证明（例 1 ），每进行一次对换，桶中球的 “逆序数” 的奇偶性会改变。初始状态下的逆序数是 $0$，一个偶数；因此如果一个变换可以被奇数个对换组合得到，那么这个变换会使得桶中球的逆序数变成奇数，这个变换就叫做奇变换；同样地，偶数个对换组合得到的变换称为偶变换，它会使得桶中球的逆序数仍为偶数。
偶变换之间的复合仍然能得到偶变换，因此全体偶变换构成置换群 $S_n$ 的一个子群，称为交错群（alternating group），记为 $A_n$。交错群是置换群的一个正规子群，元素数量是置换群的一半——也就是说，$|S_n/A_n|=2$ 对任何 $n$ 都成立。
例 3 中心
给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$，记 $C(S)$ 为 $G$ 中所有能和 $S$ 中元素交换的元素之集合，即 $C(S)=\{g\in G|\forall s\in S, gs=sg\}$，称之为 $S$ 在 $G$ 中的中心化子（centralizer），有时为了强调也记为 $C_G(S)$。特别地，称 $C(G)$ 是 $G$ 的中心（center）。
考虑到对于任意 $c\in C(G)$ 和任意 $g\in G$ 都有 $cg=gc$，那么任取 $h\in G$，也必有 $hch^{-1}g=hh^{-1}cg=cg=gc=gchh^{-1}=ghch^{-1}$，即 $hch^{-1}\in C(G)$。因此，$C(G)\lhd G$。
任意给定群 $G$ 的子群 $H$，它不一定是正规子群，但我们可以适当 “修剪” 群 $G$ 来获得一个子群，使得 $H$ 在这个子群里是正规子群。这样的子群就是以下定义的正规化子：
定义 2 正规化子
给定群 $G$ 和它的一个子集 $S$。如果 $H$ 是包含 $S$ 的最小的子群2，记 $N(S)=\{n\in G|nH=Hn\}$，那么 $N(S)$ 构成一个子群，而 $H\vartriangleright N(S)$。称 $N(S)$ 是 $S$ 的正规化子（normalizer）。
注意区分中心化子和正规化子的定义，对于同样的 $S$，其正规化子比中心化子的定义要弱一些，并且正规化子本身不一定是 $G$ 的正规子群。
2. 商群继承原群结构
引理 1
给定群 $G$ 及其正规子群 $N$，则对于任意 $g\in G$ 有：
\begin{equation}
NgN=gN~.
\end{equation}
proof.
因为这是陪集运算，所以在 $N$ 里取代表元素单位元 $e$，则 $NgN=g=gN$。又或者右乘 $g^{-1}$ 并利用正规子群的定义即可得。
定理 1
设 $N$ 为 $G$ 的正规子群，$H$ 是 $G$ 的另一个子群。那么 $K=\{gN|g\in G,gN\cap H\neq \varnothing \}$ 是 $G/N$ 的一个子群，并且在同构意义下是 $HN/N$。
proof.
图 1：子群与左陪集相交示意图。如图，构成整个图的最大正方形表示群 $G$，中心的红色小正方形表示 $G$ 的子集 $N$，旋转 $45^\circ$ 的蓝色正方形表示 $G$ 的子集 $H$，注意 $H$ 的范围也包括红色部分。其它和 $N$ 一样大的正方形表示 $N$ 在 $G$ 中的各左陪集。
$K$ 是从 $H$ 的所有左陪集中取与 $N$ 相交的等价类。设对于任意 $g_iN\in K$ 有 $h_i\in g_iN\cap H$，则 $g_iN=h_iN$。要证明 $K$ 是 $G/N$ 的一个子群，取等价元素研究即可。设任意 $h_i,h_j\in K$ 且 $h_iN\neq h_jN$，因为 $h_i^{-1}h_j\in H$，因而 $h_i^{-1}Nh_jN=h_i^{-1}h_jN\in K$，第一步得证。
正如图 1 所示，在把 $G$ 切分成关于 $N$ 的等价类后，$H$ 的元素全部落在不同左陪集上，为蓝色部分，对应的左陪集为 $K$3。下面证明 $K$ 中元素作为 $G/N$ 的部分等价类和 $HN/N$ 一一对应。
首先证明 $K$ 实际上就是 $HN$，由上述知，只需证明在 $G$ 下是子群即可。设任意两个左陪集为 $h_1N,h_2N$，则 $(h_1N)^{-1}h_2N=Nh_1^{-1}h_2N$。由引理 1 得：$(h_1N)^{-1}h_2N=h_1^{-1}h_2N\in K$，因此 $HN$ 是 $G$ 的子群，所以 $N$ 也是 $HN$ 的正规子群，证毕。
也就是说，取原群的任一子群与商群相交，可以得到商群的子群。
子群的商群之间可以一一对应：
定理 2
$N$ 是群 $G$ 是正规子群，$H$ 是另一个子群，则有：
\begin{equation}
(HN/N)\cong H/(H\cap N)~.
\end{equation}
易证 $H\cap N$ 确实是 $H$ 的正规子群。设任意 $h\in H,n\in N,H\cap N=N'$，下面证明 $f(hnN)=f(hN)=hN'$ 是一个同构映射。
从定义知，该映射是满射。若对于任意 $h_1,h_2\in H$ 有 $f(h_1N)=f(h_2N)$，则 $h_1N'=h_2N'$，因此 $h_1^{-1}h_2\in N'=H\cap N$，所以 $h_1N=h_2N$，这是一个单射。
因为 $f(h_1NNh_2N)=f(h_1h_2N)=h_1h_2N'=f(h_1N)f(h_2N)$，所以该映射保同态，是同构映射。该映射实际上是把图 1 的蓝色部分映射到其所在正方形上，把 $H\cap N$ 映射到绿色部分。
推论 2
$G,N,H$ 定义同上。若 $HN=G$，则 $G/N\cong H/(H\cap N)$。
习题 2
给定群 $G$ 及其正规子群 $N$，令 $Q$ 是 $G/N$ 的正规子群，证明：
$\pi^{-1} \left(Q \right) $ 也是 $G$ 的正规子群，且
\begin{equation}
\left(G/N \right) /Q \cong G/ \left(\pi^{-1} \left(Q \right) \right) . ~
\end{equation}
其中 $\pi: G\to G/N$ 是自然同态。
3. 小结
对于任何群 $G\vartriangleright H$，所有左陪集的元素数量都是 $|H|$，包括 $H$ 本身。这些左陪集彼此没有交集，但群 $G$ 是所有左陪集的并集，我们由此得到了拉格朗日定理，揭示了一个任何群都具有的简洁的结构特征。商群 $G/H$ 的元素数量，正是 $G$ 和 $H$ 的元素数量的商。
当子群 $H$ 满足，对于任意的 $g\in G$ 都有 $g^{-1}Hg=H$ 时，$H$ 就成了一个正规子群。只有正规子群才能生成商群；非正规的子群划分出来的等价类，按照二元关系中提到的方法构成的商集，却并不能用 $G$ 的运算来导出一个群运算。当然，你也可以把这个商集看成和 $G$ 完全无关的集合，给它独立定义一个群运算，但那样这个群就和 $G$ 没有一点关系了，不能叫做 $G$ 的商群。
$G/H$ 的群运算是 $G$ 的运算导出来的，所以继承了 $G$ 中很多相似的性质；但是 $G/H$ 把同一个左陪集中各个元素的差别都抹去了，相当于一个简化版的 $G$。所以说，商群继承了原群的部分特征，但是没有完全继承。
两个定义相似的概念：中心化子和正规化子。
接下来当我们讲到群之间的映射的时候，商群与原群 “似而不同” 的结构非常重要。
1. ^ 三角形总指向子群。
2. ^ 我们通常称 $H$ 是由 $S$ 生成的子群，用 $< S>$ 表示。
3. ^ 图 1 并非很准确，$N$ 与 $H$ 起码有单位元是相交的，因此 $K$ 也包括 $N$
