可解群

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 换位子群

   可解群在 Galois 理论中起到关键作用,用于判断代数方程的根式可解性,由此而得名。由于我们现在尚未深入 Galois 理论,就不讨论何谓 “可解”,而仅仅从群结构的角度研究这种群的性质。

1. 可解群的定义

定义 1 可解群

   给定群 $G$,定义 $G^{(0)}=G$ 且对于任意正整数 $k$,$G^{(k)}=[G^{(k-1)}, G^{(k-1)}]$。

   称

\begin{equation} G^{(0)}\rhd G^{(1)}\rhd G^{(2)}\rhd \cdots~ \end{equation}
为 $G$ 的导出列(derived series)

   若导出列在有限步内终结于 $\{e\}$,或者等价地说,存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)}=\{e\}$,则称 $G$可解(solvable)

   定义 1 式 1 直接使用了正规子群符号 $\rhd$,这是由定理 1 保证的。

   定义 1 的基础是换位子群的概念,但我们也可以仅用正规子群的概念来定义可解群:

定义 2 (次)正规序列

   给定群 $G$,称序列

\begin{equation} G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}~ \end{equation}
为 $G$ 的一个次正规序列(subnormal series)。若该序列还满足 $\forall k\in \mathbb{Z}\cap\{1, n\}, G_k\lhd G$,则称之为一个正规序列(normal series)

定理 1 可解群的另一定义

   给定群 $G$,则 $G$ 是可解群,当且仅当存在 $G$ 的正规序列 $G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}$,且对于任意正整数 $k$,$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。

   证明

   必要性

   设 $G$ 可解,即存在非负整数 $n$ 使得 $G^{(n)}=\{e\}$。令 $G_k=G^{(k-1)}$,则对于任意正整数 $k$,$G_{k+1}\subseteq [G_k, G_k]$,于是由定理 2 可知,$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。又由定理 1 ,可知各 $G_k\lhd G$,因此

\begin{equation} G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots\rhd G_{n+1}=\{e\}~ \end{equation}
是一个正规序列

   充分性

   设存在 $G$ 的正规序列 $G=G_1\rhd G_2\rhd\cdots G_n=\{e\}$,且对于任意正整数 $k$,$G_k/G_{k+1}$ 都是阿贝尔群。

   由定理 2 可知,$G_{k+1}\supseteq [G_k, G_k]$ 对任意正整数 $k$ 成立。考虑到 $G_2\supseteq[G_1, G_1]=G^{(1)}$,从而 $G_3\supseteq[G_2, G_2]\supseteq [G^{(1)}, G^{(1)}]=G^{(2)}$;以此类推,$G_{k}\supseteq G^{(k-1)}$ 对任意正整数 $k$ 成立。

   因此,$G_n=\{e\}\implies G^{(n-1)}=\{e\}$。

   证毕

2. 可解群的结构

引理 1 

   可解群的子群和商群都可解。

   证明

   给定可解群 $G$。

   设 $H$ 是 $G$ 的子群,则 $[H, H]\subseteq [G, G]$,以此类推得 $H^{(k)}\subseteq G^{(k)}$ 对任意非负整数 $k$ 成立。因此 $G^{(n)}=\{e\}\implies H^{(n)}=\{e\}$。

   设 $N\lhd G$。

   若 $[G, G]\subseteq N$,则任取 $g_1, g_2\in G$ 有 $[g_1, g_2]\in N$,于是 $[g_1N, g_2N]\subseteq N$,即 $[G/N, G/N]=N$。

   若 $N\subseteq [G, G]$,则类似可得 $[G/N, G/N]=G^{(1)}/N$。

   以此类推,由 $G^{(n)}=\{e\}$ 即可推出 $ \left(G/N \right) ^{(n)}=\{e\}$。

   证毕

引理 2 

   给定群 $G$ 及其正规子群 $N$,若 $N$ 和 $G/N$ 均可解,则 $G$ 可解。

   证明1

   设 $G/N$ 和 $N$ 分别有正规序列

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} G/N ={}& Q_0\rhd Q_1\rhd Q_2\rhd\cdots\rhd Q_s=N, \\ N ={}& N_0\rhd N_1\rhd N_2\rhd\cdots\rhd N_t=\{e\}. \end{aligned} \right. ~ \end{equation}

   对于 $0\leq k\leq s$,令 $G_k=\pi^{-1} \left(Q_k \right) $;对于 $s< k\leq s+t+1$,令 $G_k=N_{k-s-1}$。则可以构造序列

\begin{equation} G=G_0\rhd G_1\rhd\cdots\rhd G_{s+t+1}=\{e\}. ~ \end{equation}
其中,$G_s$ 到 $G_{s+t+1}$ 自然构成一个正规序列。而 $G_0$ 到 $G_s$ 也依然满足 “全是 $G_0$ 的正规子群,$G_{k-1}/G_{k}$ 是阿贝尔群”,证明如下:

\begin{equation} \begin{aligned} \forall g\in G, \left(Q_k\lhd G/N \right) \iff{}& \left( \left(g^{-1}N \right) \left(Q_k \right) \left(gN \right) =Q_k \right) \\ \iff{}& \left(g^{-1}N \right) \left(\pi^{-1} \left(Q_k \right) \right) \left(gN \right) = \left\{\pi \right\} ^{-1} \left(Q_k \right) \\ \implies{}& \left(g^{-1}\pi^{-1} \left(Q_k \right) g\subseteq \pi^{-1} \left(Q_k \right) \right) . \end{aligned}~ \end{equation}
此即证明了 $\pi^{-1} \left(Q_k \right) \lhd G=G_0$。注意 $\pi: G\to G/N$ 是自然同态。

   又根据习题 2

\begin{equation} \begin{aligned} Q_k/Q_{k+1} \cong G_k/G_{k+1}. \end{aligned}~ \end{equation}
故由 $Q_k/Q_{k+1}$ 是阿贝尔群,得证 $G_k/G_{k+1}$ 是阿贝尔群。

   证毕


1. ^ 此证明照搬自《代数学基础》。

                     

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