二维波动方程

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预备知识　一维波动方程，梯度，散度

　　假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜，单位长度的张力为 $λ$ 。面密度为 $σ$ ，均为常数。取一小块微元进行受力分析，其质量为 $m = σ S$ 。要分析其受力，可以将面元的边界划分成许多小段，每小段给面元施加的竖直方向的力等于 $λ$ 乘以法相斜率 $\nabla u$ 再乘以该小段长度 $d l$ 。注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立，因为斜率是 $\tan θ$ ，而严格来说我们需要 $\sin θ$ ，类比同一维波动方程的推导。

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \frac{λ}{σ S} \oint [\nabla u (r)] \cdot \hat{n} (r) d l, \end{matrix}

\hat{n} (r)

为边界在

r

处向外的法向量。

　　当 $S \to 0$ ，根据散度的定义

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{S} \oint [\nabla u (r)] \cdot \hat{n} (r) d l \to \nabla \cdot (\nabla u) = \nabla^{2} u, \end{matrix}

所以波动方程为

\begin{matrix} (3) & \nabla^{2} u - \frac{σ}{λ} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = 0, \end{matrix}

其中

v_{0} = \sqrt{λ / σ}

。

　　特殊地，当薄膜保持静止不动，我们就得到了拉普拉斯方程。