指数函数（复数）

贡献者： addis

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预备知识　指数函数，复数，基本初等函数的导数

　　¹我们来把指数函数从实数自变量拓展到复数自变量的情况。后者有多种等效的定义方式，我们首先来看一个较简单的定义

定义 1　复指数函数

　　令 $z = x + i y$ 为任意复数，那么复数域中的指数函数的一种定义就是

\begin{matrix} (1) & w = e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} (\cos y + i \sin y), \end{matrix}

图 1：复数域中的指数函数

　　在复平面上表示这个函数，则指数的实部 $x$ 控制函数值 $w$ 的模长，虚部 $y$ 控制 $w$ 的辐角，如图 1

\begin{matrix} (2) & | w | = e^{x} \arg (w) = y, \end{matrix}

当指数为纯虚数（令

x = 0

，

y = i θ

，

θ

为实数）时，式 1 变为著名的欧拉公式（Euler's formula）

\begin{matrix} (3) & e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ, \end{matrix}

虽然这里的

θ

是实数（最常见的情况），但根据复数域三角函数的定义，对于任何复数

z

，同样满足欧拉公式

\begin{matrix} (4) & e^{i z} = \cos z + i \sin z . \end{matrix}

将 “三角函数（复数）” 中的式 1 和式 2 代入即可证明。

　　根据式 1 的定义结合两角和公式（式 4 ），容易证明（留做习题） $e^{z}$ 同样满足恒等式

\begin{matrix} (5) & e^{z_{1} + z_{2}} = e^{z_{1}} e^{z_{2}} . \end{matrix}

1. 和实函数的 “兼容性”

　　根据定义容易看到，在实数轴 $x$ 上，式 1 中 $y = 0$ ，复指数函数就还原成熟悉的实数指数函数了。所以二者使用同一个符号不会带来歧义，复指数函数是实指数函数在复平面上的拓展。

　　但乍看之下，拓展有许多方式，为什么一定是式 1 呢？因为在复变函数中，我们一般研究的是解析函数。若要求 $e^{x}$ 拓展到复数域后是解析函数式 1 是唯一的定义。详见 “柯西—黎曼条件”。

2. 导数

　　虽然我们只学了实函数的导数，还没有系统地学习复变函数求导，但我们可以根据式 3 求出一个常见的导数公式。令 $a, x$ 为实数， $a$ 为常数，

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \frac{d}{d x} e^{i a x} & = - a \sin (a x) + i a \cos (a x) \\ = i a [\cos (a x) + i \sin (a x)] \\ = i a e^{i a x}, \end{aligned} \end{matrix}

进一步拓展，令复常数

c = a + i b

得

\begin{matrix} (7) & \frac{d}{d x} e^{c x} = \frac{d}{d x} (e^{a x} e^{i b x}) = (a + i b) e^{(a + i b) x} = c e^{c x} . \end{matrix}

可见

e^{z}

的求导与实数域的

e^{x}

类似（式 10 ）。

　　这只是对实数 $x$ 求导的特殊情况，一般来说，复变函数是可以对复数求导的，详见 “复变函数的导数、柯西—黎曼条件”。

3. 欧拉公式的导出

　　欧拉公式最初是将泰勒级数进行推广得到的。

　　首先，我们有如下三个展开：

\begin{matrix} (8) & \sin x = x - \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} - \frac{1}{7!} x^{7} \dots (x \in R), \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{4!} x^{4} - \frac{1}{6!} x^{6} \dots (x \in R), \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & e^{x} = 1 + x + \frac{1}{2!} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3} \dots (x \in R) . \end{matrix}

　　由于我们已经知道复数的加减乘除运算，欧拉便尝试直接把虚数 $i$ 插入式 11 中，得到

\begin{matrix} (11) & e^{i x} = 1 + i x - \frac{1}{2!} x^{2} - \frac{1}{3!} i x^{3} \dots (x \in R) . \end{matrix}

　　把式 11 中的实部和虚部分开，再和式 8 、式 9 对比，即得欧拉公式式 1 。

4. 复指数函数的级数定义

　　同理，用级数法也可以直接推导出式 1 。事实上，这种方法叫做 “解析拓延”，就是在保证函数解析的前提下给函数扩大定义域，例如从实轴拓展到复平面。

　　使用复数的加法和乘法，可以用级数来定义复指数函数

定义 2　复指数函数

　　令复指数函数为

\begin{matrix} (12) & e^{z} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} . \end{matrix}

未完成：证明等效

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。