对数函数（复数）

贡献者： addis

预备知识　指数函数（复数），函数（高中）

　　¹我们先给出复数对数函数的一种定义

　　对数函数 $\log z$ 是从任意非零复数到复数的映射 $f : C^{*} \to C$ ，定义为

\begin{matrix} (1) & \log z = \log | z | + i \arg z . \end{matrix}

其中

\arg (z)

是

z

的辐角，值域为

(- π, π]

。

　　这样定义的函数值叫做 $\log$ 函数的主值（principal value）。注意 $\log 0$ 在复数域中没有定义，也有时候说 $\log 0 = - \infty$ （注意 $\pm \infty \notin C$ ）。

　　结合复数指数函数的定义，恒有

\begin{matrix} (2) & \exp (\log z) \equiv z (z \in C^{*}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \log e^{z} \equiv z (Re [z] \in R and Im [z] \in (- π, π]) . \end{matrix}

所以在有限的范围内，

\exp z

和

\log z

互为反函数。

　　现在我们也可以用 $\log z$ 来表示复数的辐角

\begin{matrix} (4) & \arg z = Im \log z . \end{matrix}

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。