对数函数（复数）
贡献者： addis
1我们先给出复数对数函数的一种定义
定义 1 对数函数（复数）
对数函数 $\log z$ 是从任意非零复数到复数的映射 $f:\mathbb C^*\to \mathbb C$，定义为
\begin{equation}
\log z = \log \left\lvert z \right\rvert + \mathrm{i} \arg z~.
\end{equation}
其中 $\arg(z)$ 是 $z$ 的辐角，值域为 $(-\pi, \pi]$。
这样定义的函数值叫做 $\log$ 函数的主值（principal value）。注意 $\log 0$ 在复数域中没有定义，也有时候说 $\log 0 = -\infty$（注意 $\pm\infty \notin \mathbb C$）。
结合复数指数函数的定义，恒有
\begin{equation}
\exp\left(\log z\right) \equiv z \qquad (z \in \mathbb C^*)~.
\end{equation}
\begin{equation}
\log \mathrm{e} ^z \equiv z \qquad ( \operatorname{Re} [z]\in\mathbb R\ \text{ and }\ \operatorname{Im} [z]\in(-\pi, \pi])~.
\end{equation}
所以在有限的范围内，$\exp z$ 和 $\log z$ 互为反函数。
现在我们也可以用 $\log z$ 来表示复数的辐角
\begin{equation}
\arg z = \operatorname{Im} \log z~.
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。