分子平均碰壁数

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　理想气体状态方程

　　我们来考虑理想气体，即气体分子之间不发生相互作用。当容器中的气体分子平均速度为 $\bar v$，分子数密度（单位体积内的分子个数）为 $n$ 时，单位容器面积单位时间受到分子碰撞的平均次数为

\begin{equation} \frac14 n\bar v~, \end{equation}

这个结论与容器的形状无关。

1. 简单的推导

　　假设所有分子的速度都是 $v$，分子数密度为 $n$（单位体积内的分子数）。假设分子之间不发生碰撞。如果所有的分子都向同一个方向运动，那么单位时间通过面积为 $a$ 的垂直截面的分子数为 $nva$。如果容器是一个球壳，那么球壳的一半会受到粒子的撞击，单位时间的撞击次数（碰撞率）等于单位时间粒子通过容器最大截面的个数（如图 1），即 $nv \left(\pi R^2 \right) $。

图 1：分子同向运动的情况

　　如果有一半的分子向右移动，一半向上移动（如图 2），那么每个方向的分子数密度变为原来的一半，总的碰撞率仍为

\begin{equation} \frac12 nv \left(\pi R^2 \right) + \frac12 nv \left(\pi R^2 \right) = nv \left(\pi R^2 \right) ~. \end{equation}

图 2：分子向两个方向运动的情况

　　依此类推，如果分子运动的方向被均匀分布在空间的各个方向上，单位时间碰撞数仍然是 $nv \left(\pi R^2 \right) $。由于球形容器的表面积为 $4\pi R^2$，所以单位容器壁面积单位时间的碰撞数就是 $nv/4$。

　　接下来如果把球形容器改成任意形状的容器，由于分子运动在各个方向都是一样，所以结论不变。另外，一般情况下并不是每个分子都具有相同的速度，所以速度取平均值 $v$ 即可。

2. 积分推导

　　利用立体角对不同运动方向的分子数积分。设运动方向与截面法向量夹角为 $\theta$，那么在 $ \,\mathrm{d}{\omega} =\sin \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} $ 所对应的方向上，单位时间内通过面积为 $a$ 的截面的分子数为 $n\bar v\cos\theta \frac{ \,\mathrm{d}{\Omega} }{4\pi}$。对 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 积分，得到

\begin{equation} \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^{\pi/2}\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \cdot (n \bar v\cos\theta)=\frac{n\bar v}{2} \int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \,\mathrm{d}{\theta} = \frac{1}{4} n\bar v ~. \end{equation}

　　特别地，如果考虑一个各向同性的光子气体，也就是说辐射场。每个光子的运动速度都为 $c$。假设频率为 $\nu$ 的辐射场能量密度（具体的定义见黑体辐射定律）为 $S_\nu(\nu)$，那么单位面积上的能流辐射强度就是

\begin{equation} J(\nu)=\frac{1}{4} S_\nu(\nu) c ~. \end{equation}

这就是黑体辐射的 Stefan-Boltzmann 定律。