气体分子对容器壁的压强

贡献者： addis

预备知识　动量定理

　　我们来从微观的角度考察气体是如何对一个光滑平面产生压强的。一种错误的解释是：每个气体分子像一个有弹性的小球，他们互紧挨着，对彼此和容器壁产生压力，当体积越小，压力也就越大。然而真实情况¹是，气体分子之间的距离远远大于他们的体积，且都在不断运动。是大量分子撞击容器壁产生的 “冲击力” 对容器产生了等效的压力。这种撞击可以看作是在一瞬间完成的，就像高中学的完全弹性碰撞。所以我们需要使用动量和冲量。

图 1：分子对容器壁的压强

　　如图 1 ，我们假设空间中没有重力，向右为 $x$ 方向，一块面积为 $S$ 的光滑平板初始时静止，令其质量为 $M$，远大于分子的质量。平板的左侧不断受到大量粒子从各个随机方向，以各种随机速度的撞击。虽然每个分子的动量很小，但撞击的频率却很大（数量级与阿伏伽德罗常数相当，即 $10^{24}$ 次每秒）。由于这些撞击的位置完全是随机的，他们可以被等效为一个均匀的压强。如何定义等效压强呢？我们可以在平板的右侧对平板施加一个均匀恒定的 “真正的” 压强 $P$（或者等效地，直接施加恒力 $F = PS$），如果左边分子的撞击和右边的压强能使平板保持宏观的静止，那么我们就说分子撞击对平板的（等效）压强为 $P$。

　　我们给这些分子编号，假设第 $i$ 个分子延 $x$ 方向的速度分量为 $v_{x,i}$，质量都为 $m$，则碰撞前延 $x$ 方向的动量为 $p_i = m v_{x,i}$。由于平板的质量远大于单个分子的质量，撞击以后可以认为分子 $x$ 方向的速度取相反数，而平行于平板方向的速度不变（类似于光的镜面反射）。这样，碰撞后单个分子的动量变化（即冲量）为 $\Delta p_i = -2mv_{x,i}$，由动量守恒，平板的动量瞬间增加了 $2mv_{x,i}$。如果一段时间 $\Delta t$ 内，有 $N$ 个分子撞击平板，则平板受到向右的总冲量为

\begin{equation} \Delta p = \sum_{i=1}^N 2mv_{x,i} = 2m \sum_{i=1}^N v_{x,i}~, \end{equation}

再来看右边的压力对平板的作用。$\Delta t$ 时间内该作用力对平板向左的冲量为

\begin{equation} \Delta p = PS \Delta t~. \end{equation}

若要使平板在宏观上不动，总冲量必须为零，以上两式相等，即

\begin{equation} P = \frac{2m}{S\Delta t} \sum_{i=1}^N v_{x,i} = 2m\bar v_{x,i} \frac{N}{S\Delta t}~. \end{equation}

其中我们定义 $x$ 方向速度平均值为

\begin{equation} \bar v_{x,i} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N v_{x,i}~. \end{equation}

也就是说，等效压强和分子在垂直容器壁方向的平均动量成正比，与单位面积单位时间撞击容器壁的粒子数成正比。

1. 两块平板

　　我们再来讨论一个稍微复杂一些的情况。假设空间中有两块平行平板，他们之间距离为 $a$，每个粒子会在这两块平板之间来回反弹（假设不飞出边界），第 $i$ 个粒子来回运动一次的周期是 $T_i = 2a/v_{x,i}$，$\Delta t$ 时间（假设远大于 $T_i$）内可以与右边的平板发生碰撞的次数为

\begin{equation} N_i = \frac{\Delta t}{T_i} = \frac{v_{x,i} \Delta t}{2a}~, \end{equation}

所有的分子在 $\Delta t$ 时间内碰撞右壁的次数为 $N = \sum N_i$。

　　所以 $\Delta t$ 时间内，右侧平板获得的总冲量为

\begin{equation} \Delta p = \sum_{i=1}^N 2mv_{x,i} N_i = \frac{m \Delta t}{a} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2 = m\overline {v_{x,i}^2} \frac{ N\Delta t}{a}~, \end{equation}

其中我们定义了速度平方得平均值（注意这与式 4 的平方 $\bar v_{x,i}^2$ 不同）

\begin{equation} \overline {v_{x,i}^2} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N v_{x,i}^2~. \end{equation}

与上面同理，为了保持总冲量相等，式 6 和式 2 必须相等，得

\begin{equation} P = m \overline {v_{x,i}^2} \frac{N}{Sa}~. \end{equation}

　　从这个公式出发，我们很容易可以得到理想气体状态方程。注意这里的 $Sa$ 就是两平板之间的体积，而 $mv_{x,i}^2$ 就是单个分子动能 $E_{k,i}$ 的两倍。

1. ^ 除了极端温度或压强的情况