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当我们描述大量气体分子的运动时，在某时刻可以用一个速度分布函数 $f(v_x, v_y, v_z)$ 描述气体分子的速度分布，或用矢量符号记为 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，也可以用球坐标表示为 $f(v, \theta, \phi)$。我们以下考虑各向同性的速度分部，即 $f(v, \theta, \phi)$ 与方向 $\theta, \phi$ 无关，可以简写为 $f(v)$。另外以下将分子视为质点，不考虑其转动和振动等内部运动。
1. 速度的能均分定理
我们来考虑分子的平均动能以及各个方向的平均动能之间的关系。由于经典力学中动能为 $E_k = mv^2/2$，我们只需要计算分子速度（以及各个分量速度）平方的平均值。
令 $v_i$ 为速度分量 $v_x, v_y, v_z$ 中的一个，有
\begin{equation}
\left\langle v_i^2 \right\rangle = \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} ~.
\end{equation}
由于速度分布各向同性，有
\begin{equation}
\left\langle v_x^2 \right\rangle = \left\langle v_y^2 \right\rangle = \left\langle v_z^2 \right\rangle ~,
\end{equation}
而速度模长平方的分布为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle v^2 \right\rangle &= \int (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} \\
&= \sum_{i = x,y,z} \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} \\
&= \sum_{i = x,y,z} \left\langle v_i^2 \right\rangle = 3 \left\langle v_i^2 \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
这就说明，分子的平均动能和各个分量之间的平均动能满足
\begin{equation}
\bar E_{kx} = \bar E_{ky} = \bar E_{kz} = \frac{1}{3} \bar E_k~.
\end{equation}
这相当于把总平均动能
均分到了三个方向上，所以称为
能均分定理。
2. 速率分布
若把速度（矢量）的模长 $v = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert $ 叫做速率，则类比式 15 ，速率的分布函数为
\begin{equation}
F(v) = 4\pi v^2 f(v)~.
\end{equation}
令气体分子的数量为 $N$，则随机一个分子速度绝对值落在 $[v_a, v_b]$ 范围的概率为（类比式 14 ）
\begin{equation}
P_{ab} = \int_a^b F(v) \,\mathrm{d}{v} = \int_a^b 4\pi v^2 f(v) \,\mathrm{d}{v} ~.
\end{equation}
所以近似地，该区间中的分子数量为
\begin{equation}
N_{ab} = P_{ab} N~.
\end{equation}
未完成：……