贡献者： addis
我们来回顾定理 1 ：复积分的实部和虚部可以分别表示为两个二维矢量场的线积分
\begin{equation}
\int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} = \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = u \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} - v \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = v \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + u \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
什么情况下，该积分只和积分曲线的起点和终点有关呢？根据斯托克斯定理
，充分必要条件是
未完成：？
如果其中的函数在某区域 $D$ 解析，即处处满足柯西—黎曼条件，那么
定理 1
令复平面的实轴为 $x$ 轴，虚轴为 $y$ 轴，用两个二元实函数 $u, v$ 来表示 $f(z)$
\begin{equation}
f (z) = u(x, y) + \mathrm iv(x, y)~.
\end{equation}
令两个矢量场为（$ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为 $xy$ 平面上的位置矢量）
那么积分 $\int_{C} f(z) \mathrm{d} z$ 的实部和虚部分别可以看作两个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ), \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在曲线 $C$ 上的线积分
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{C} f(z) \,\mathrm{d}{z} &= \int_C \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } + \mathrm{i} \int_C \boldsymbol{\mathbf{g}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \\
&= \int_{C} u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y+\mathrm{i} \int_{C} v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y~.
\end{aligned}
\end{equation}
而柯西—黎曼条件恰好规定了这两个矢量场的旋度为零，所以如果 $f(z)$ 在考虑的区域上解析，线积分结果只和起点和终点有关，与路径无关（所有的路径必须在解析的区域内）。于是可以得到类似于牛顿—莱布尼兹公式，令 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} _R, \boldsymbol{\mathbf{f}} _I$ 的势函数分别为 $F_R, F_I$，即
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla F_R = f_R~,
\qquad
\boldsymbol\nabla F_I = f_I~.
\end{equation}
再令
\begin{equation}
F( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = F_R( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \mathrm{i} F_I( \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
有
\begin{equation}
\int_{z_1}^{z_2} f(z) \,\mathrm{d}{z} = F(z_2) - F(z_1)~.
\end{equation}
对于任意路径成立。容易证明 $F(z)$ 就是 $f(z)$ 的原函数，即
\begin{equation}
F'(z) = f(z)~.
\end{equation}
这相当于对
式 7 实部和虚部分别使用梯度定理
。