柯西积分定理

贡献者： addis; FFjet

　　 在复变函数的积分里的例子可以发现，有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状也有关。深入观察后，可知，前一类函数是解析函数。由此，可提出猜想：解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关。柯西在 1825 年给出此定理对猜想作了回答。也就是我们现在要介绍的柯西积分定理（Cauchy's integral theorem），也叫柯西—古萨定理（Cauchy–Goursat theorem）。

定理 1　柯西积分定理

　　 设 $G $ 为复平面上的单连通区域，$C $ 为 $G $ 内的任意一条围线，如图所示，若 $f (z)$ 在 $G $ 内解析，则

\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=0~. \end{equation}

图 1：积分回路

　　 下面为了简单起见，在假设 $f'(z)$ 连续的情况下证明该定理，也就是黎曼在 1851 年给出的证明方法。

　　 令 $z=x+\mathrm{i} y, f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y)$，我们有

\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=\oint_{C} u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y+\mathrm{i} \oint_{C} v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y~. \end{equation}

由于 $f^{\prime}(z)=u_{x}+\mathrm{i} v_{x}=v_{x}-\mathrm{i} u_{y}$ 在 $G $ 内连续，所以，$u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$ 在 $G $ 内连续，从而，这四个偏导数在由围线 $C$ 及其内部构成的闭区域 $D $ 上连续。又因 $C $ 为光滑或逐段光滑的闭曲线，且 $u $ 与 $v $ 在 $D $ 上连续是显然的。于是，由高等数学中的格林公式或斯托克斯定理得

\begin{equation} \begin{aligned}\oint_C u \mathrm{d} x-v \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(-v_{x}-u_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \oint_C v \mathrm{d} x+u \mathrm{d} y=\iint_{D}\left(u_{x}-v_{y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\end{aligned}~. \end{equation}

而由 $ f (z)$ 在 G 内解析知道，$u$ 与 $v$ 满足柯西—黎曼条件（式 4 ）

\begin{equation} u_{x}=v_{y}, \quad u_{y}=-v_{x}~. \end{equation}

由此得式 3 中两个积分都为零，即

\begin{equation} \oint_{C} f(z) \mathrm{d} z=0~. \end{equation}

　　 这个定理其实也提供了一种计算解析函数沿围线积分的方法。下面来看一道例题。