图

方势垒

   本文采用原子单位. 令势垒长度为 $2l$, 关于原点对称. 势能函数为

\begin{equation} V(x) = \leftgroup{ & 0 &\quad& (x < -l)\\ & V_0 && (-l \leqslant x < l)\\ & 0 && (l \leqslant x) } \end{equation}
对称势能的好处是存在对称和反对称的解, 且它们自动正交. 如果开始时就用指数形式的波函数, 完成后还要进行施密特正交化, 归一化后两个解的形式也未必对称.

$E > V_0$ 的情况

   令

\begin{equation} k = \sqrt{2mE} \qquad b = \sqrt{2m(E-V_0)} \end{equation}

   令对称解和反对称的波函数(为了方便, 只给出 $x > 0$ 部分)分别为

\begin{equation} \psi_{\bvec k}^e(x) = \leftgroup{ &A_1 \cosRound{bx} &\quad& (0 \leqslant x \leqslant l)\\ &C_1 \cosRound{kx} + D_1 \sinRound{kx} && (l < x)\\ } \end{equation}
\begin{equation} \psi_{\bvec k}^o(x) = \leftgroup{ &B_2 \sinRound{bx} &\quad& (0 \leqslant x \leqslant l)\\ &C_2 \cosRound{kx} + D_2 \sinRound{kx} && (l < x) } \end{equation}

   在 $x = l$ 处匹配波函数和一阶导数, 解得

\begin{equation} \leftgroup{ C_1/A_1 &= \cosRound{kl}\cosRound{bl} + \frac{b}{k} \sinRound{kl}\sinRound{bl} \\ D_1/A_1 &= -\frac{b}{k} \cosRound{kl} \sinRound{bl} + \sinRound{kl}\cosRound{bl} } \end{equation}
\begin{equation} \leftgroup{ C_2/A_2 &= \cosRound{kl}\sinRound{bl} - \frac{b}{k} \sinRound{kl}\cosRound{bl}\\ D_2/A_2 &= \frac{b}{k} \cosRound{kl} \cosRound{bl} + \sinRound{kl}\sinRound{bl} } \end{equation}
对波函数归一化, 使无穷远处波函数模方平均值为 $1/(2\pi)$, 得
\begin{equation} \leftgroup{ C_1 &= \mathcal N_1 \frac{C_1}{A_1}\\ D_1 &= \mathcal N_1 \frac{D_1}{A_1} } \qquad \leftgroup{ C_2 &= \mathcal N_2 \frac{C_2}{A_2}\\ D_2 &= \mathcal N_2 \frac{D_2}{A_2} } \end{equation}
其中 $\mathcal N_i$ 是归一化系数
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal N_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{\cosRound[2]{bl} + b^2\sinRound[2]{bl}/k^2}}\\ \mathcal N_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{\sinRound[2]{bl} + b^2\cosRound[2]{bl}/k^2}} \end{aligned} \end{equation}

$E \leqslant V_0$ 的情况

   (未完成)

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结论

   当 $E > V_0$ 时, 系数解为

\begin{equation} \leftgroup{ B = \frac{(k^2 - l^2)\sinRound{la}}{(k^2 + l^2)\sinRound{la} + 2\I kl\cosRound{la}} A\\ C = \frac{\I k (k + l) \expRound{-\I la}}{(k^2 + l^2)\sinRound{la} + 2\I kl \cosRound{la}} A\\ D = \frac{\I k(l-k) \expRound{\I la}}{(k^2 + l^2)\sinRound{la} + 2\I kl \cosRound{la}} A\\ F = \frac{2\I kl \expRound{-\I ka}}{(k^2 + l^2)\sinRound{la} + 2\I kl\cosRound{la}} A }\end{equation}

   透射率, 反射率分别为

\begin{equation} T = \abs{\frac{E}{A}}^2 = \frac{4k^2l^2}{(k^2 + l^2) \sinRound[2]{la} + 4k^2l^2\cosRound[2]{la}} \end{equation}
\begin{equation} R = \abs{\frac{B}{A}}^2 = \frac{(k^2 - l^2) \sinRound[2]{la}}{(k^2 + l^2) \sinRound[2]{la} + 4k^2l^2\cosRound[2]{la}} \end{equation}

   当 $0 < E < V_0$ 时, 系数解为

\begin{equation} \leftgroup{ B = \frac{(l^2 + k^2)\sinhRound{la}}{(k^2 - l^2) \sinhRound{la} + 2\I kl \coshRound{la}} A\\ C = \frac{k(\I l - k) \expRound{-la}}{(k^2 - l^2) \sinhRound{la} + 2\I kl \coshRound{la}} A\\ D = \frac{k(\I l + k) \expRound{la}}{(k^2 - l^2) \sinhRound{la} + 2\I kl \coshRound{la}} A\\ F = \frac{2\I kl \expRound{-\I ka}}{(k^2 - l^2) \sinhRound{la} + 2\I kl \coshRound{la}} A }\end{equation}
\begin{equation} T = \abs{\frac{E}{A}}^2 = \frac{4k^2l^2}{(l^2 - k^2) \sinhRound[2]{la} + 4k^2l^2\coshRound[2]{la}} \end{equation}
\begin{equation} R = \abs{\frac{B}{A}}^2 = \frac{(l^2 + k^2) \sinhRound[2]{la}}{(l^2 - k^2) \sinhRound[2]{la} + 4k^2l^2\coshRound[2]{la}} \end{equation}

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