图

方势垒

   本文采用原子单位. 令势垒长度为 $2l$, 关于原点对称. 势能函数为

\begin{equation} V(x) = \begin{cases} 0 & (x < -l)\\ V_0 & (-l \leqslant x < l)\\ 0 & (l \leqslant x) \end{cases} \end{equation}
对称势能的好处是存在对称和反对称的解, 且它们自动正交. 如果开始时就用指数形式的波函数, 完成后还要进行施密特正交化, 归一化后两个解的形式也未必对称.

$E > V_0$ 的情况

   令

\begin{equation} k = \sqrt{2mE} \qquad b = \sqrt{2m(E-V_0)} \end{equation}

   令对称解和反对称的波函数(为了方便, 只给出 $x > 0$ 部分)分别为

\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^e(x) = \begin{cases} A_1 \cos\left(bx\right) & (0 \leqslant x \leqslant l)\\ C_1 \cos\left(kx\right) + D_1 \sin\left(kx\right) & (l < x) \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }^o(x) = \begin{cases} B_2 \sin\left(bx\right) & (0 \leqslant x \leqslant l)\\ C_2 \cos\left(kx\right) + D_2 \sin\left(kx\right) & (l < x) \end{cases} \end{equation}

   在 $x = l$ 处匹配波函数和一阶导数, 解得

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} C_1/A_1 &= \cos\left(kl\right) \cos\left(bl\right) + \frac{b}{k} \sin\left(kl\right) \sin\left(bl\right) \\ D_1/A_1 &= -\frac{b}{k} \cos\left(kl\right) \sin\left(bl\right) + \sin\left(kl\right) \cos\left(bl\right) \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} C_2/A_2 &= \cos\left(kl\right) \sin\left(bl\right) - \frac{b}{k} \sin\left(kl\right) \cos\left(bl\right) \\ D_2/A_2 &= \frac{b}{k} \cos\left(kl\right) \cos\left(bl\right) + \sin\left(kl\right) \sin\left(bl\right) \end{aligned}\right. \end{equation}
对波函数归一化, 使无穷远处波函数模方平均值为 $1/(2\pi)$, 得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} C_1 &= \mathcal N_1 \frac{C_1}{A_1}\\ D_1 &= \mathcal N_1 \frac{D_1}{A_1} \end{aligned}\right. \qquad \left\{\begin{aligned} C_2 &= \mathcal N_2 \frac{C_2}{A_2}\\ D_2 &= \mathcal N_2 \frac{D_2}{A_2} \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $\mathcal N_i$ 是归一化系数
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal N_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{ \cos^{2}\left(bl\right) + b^2 \sin^{2}\left(bl\right) /k^2}}\\ \mathcal N_2 = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{ \sin^{2}\left(bl\right) + b^2 \cos^{2}\left(bl\right) /k^2}} \end{aligned} \end{equation}

$E \leqslant V_0$ 的情况

   (未完成)

   =================== 以下为 docx 复制过来的内容 ===========

结论

   当 $E > V_0$ 时, 系数解为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} B = \frac{(k^2 - l^2) \sin\left(la\right) }{(k^2 + l^2) \sin\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cos\left(la\right) } A\\ C = \frac{ \mathrm{i} k (k + l) \exp\left(- \mathrm{i} la\right) }{(k^2 + l^2) \sin\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cos\left(la\right) } A\\ D = \frac{ \mathrm{i} k(l-k) \exp\left( \mathrm{i} la\right) }{(k^2 + l^2) \sin\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cos\left(la\right) } A\\ F = \frac{2 \mathrm{i} kl \exp\left(- \mathrm{i} ka\right) }{(k^2 + l^2) \sin\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cos\left(la\right) } A \end{aligned}\right. \end{equation}

   透射率, 反射率分别为

\begin{equation} T = \left\lvert \frac{E}{A} \right\rvert ^2 = \frac{4k^2l^2}{(k^2 + l^2) \sin^{2}\left(la\right) + 4k^2l^2 \cos^{2}\left(la\right) } \end{equation}
\begin{equation} R = \left\lvert \frac{B}{A} \right\rvert ^2 = \frac{(k^2 - l^2) \sin^{2}\left(la\right) }{(k^2 + l^2) \sin^{2}\left(la\right) + 4k^2l^2 \cos^{2}\left(la\right) } \end{equation}

   当 $0 < E < V_0$ 时, 系数解为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} B = \frac{(l^2 + k^2) \sinh\left(la\right) }{(k^2 - l^2) \sinh\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cosh\left(la\right) } A\\ C = \frac{k( \mathrm{i} l - k) \exp\left(-la\right) }{(k^2 - l^2) \sinh\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cosh\left(la\right) } A\\ D = \frac{k( \mathrm{i} l + k) \exp\left(la\right) }{(k^2 - l^2) \sinh\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cosh\left(la\right) } A\\ F = \frac{2 \mathrm{i} kl \exp\left(- \mathrm{i} ka\right) }{(k^2 - l^2) \sinh\left(la\right) + 2 \mathrm{i} kl \cosh\left(la\right) } A \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} T = \left\lvert \frac{E}{A} \right\rvert ^2 = \frac{4k^2l^2}{(l^2 - k^2) \sinh^{2}\left(la\right) + 4k^2l^2 \cosh^{2}\left(la\right) } \end{equation}
\begin{equation} R = \left\lvert \frac{B}{A} \right\rvert ^2 = \frac{(l^2 + k^2) \sinh^{2}\left(la\right) }{(l^2 - k^2) \sinh^{2}\left(la\right) + 4k^2l^2 \cosh^{2}\left(la\right) } \end{equation}

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