简谐振子（升降算符）
结论
\begin{equation}
a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2m\omega\hbar}} (m\omega x \mp \I p) \quad
a_+ \psi_n = \sqrt{n + 1} \psi_{n+1}
\quad
a_- \psi_n = \sqrt n \psi_{n-1}
\end{equation}
\begin{equation}
E_n = \qtyRound{n+\frac12}\omega \hbar \qquad
\Q n = a_+ a_ - \qquad
H = \omega\hbar \qtyRound{\Q n + \frac12}
\end{equation}
\begin{equation}
\psi_0 (x) = \frac{1}{\pi^{1/4} \beta^{1/2}} \E^{-(x/\beta)^2/2} \qquad \beta = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}
\end{equation}
推导
在经典的简谐振子模型中，若质点沿 $x$ 轴方向振动，且在 $x = 0$ 处平衡，则势能函数 $V(x) = k x^2/2$． 由于自由振动的频率为 $\omega = \sqrt{k/m}$， 所以势能可记为
\begin{equation}
V(x) = \frac12 m \omega^2 x^2
\end{equation}
\begin{equation}
H = \frac{p^2}{2m} + V = \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2 x^2 = \frac{1}{2m} [p^2 + (m\omega x)^2]
\end{equation}
\begin{equation}
H\psi = E\psi
\end{equation}
\begin{equation}
a_\pm = \frac{1}{\sqrt{2m\omega\hbar}} (m\omega x \mp \I p)
\qquad
\Delta E = \omega \hbar
\end{equation}
根据式 1 ， 对任意一个 $H$ 的本征函数 $\psi_n$， 有
\begin{equation}
H(a_\pm\psi_n) = (E_n\pm\hbar\omega) (a_ \pm \psi_n)
\end{equation}
类似于无限深势阱， 谐振子也应该有一个最低能级 $E_0$ 和对应的 $\psi_0(x)$． 所以 $a_-$ 必然对 $\psi_0$ 无效，即得到的波函数没有物理意义，所以不妨猜测 $a_- \psi_0 = 0$ 即
\begin{equation}
(m\omega x + \I p)\psi_0 = 0
\quad \Rightarrow \quad
\dv{x} \psi_0 = - \frac{m\omega x}{\hbar } \psi_0
\end{equation}
\begin{equation}
\psi_0(x) = \frac{1}{\pi^{1/4}\sqrt\beta} \E^{-(x/\beta)^2/2}
\end{equation}
归一化条件
证明 $\psi_{n+1} = a_+\psi_n/\sqrt{n+1}$， $\psi_{n-1} = a_- \psi_n/\sqrt n$
\begin{equation}\ali{
A^2 & = \int (a_+ \psi_n)^* (a_+ \psi_n) \dd{x}
= \int (a_+^* a_+ \psi_n)^* (\psi_n) \dd{x}\\
&= \int (a_- a_+ \psi_n)^* (\psi_n) \dd{x}
}\end{equation}
\begin{equation}
A^2 = (n + 1)\int \psi_n^*{\psi_n} \dd{x} = n + 1\qquad
A = \sqrt{n+1}
\end{equation}
波函数
现在只需要对基态波函数不断使用升算符和归一化系数就可以得到任意激发态波函数（已归一化）
\begin{equation}
\psi_n = \frac{a_+}{\sqrt {n!}} \psi_0
\end{equation}
升降算符的证明
根据升降算符的定义， 要证明 $a_\pm$ 是升降算符只需证明对易关系
\begin{equation}
\comm{H}{a_\pm} = \pm \omega\hbar a_\pm
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{H}{a_\pm} = \frac{1}{2m\sqrt{2m\hbar \omega}} \comm{(m\omega x)^2 + p^2}{m\omega x \mp \I p}
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{\Q A + \Q B}{\Q C + \Q D} = \comm{\Q A}{\Q C} + \comm{\Q A}{\Q D} + \comm{\Q B}{\Q C} + \comm{\Q B}{\Q D}
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{x^2}{x} = \comm{p^2}{p} = 0
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{H}{a_\pm} = \frac{\omega}{2\sqrt{2m\hbar \omega}} \qtyRound{\mp \I \comm{x^2}{p} + \comm{p^2}{x}}
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{\Q A\Q B}{\Q C} = \Q A \comm{\Q B}{\Q C} + \comm{\Q A}{\Q C}\Q B
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{x^2}{p} = x\comm{x}{p} + \comm{x}{p} x = 2\I\hbar x
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{p^2}{x} = - p\comm{x}{p} - \comm{x}{p} p = - 2\I\hbar p
\end{equation}
\begin{equation}
\comm{H}{a_\pm} = \frac{\pm\omega\hbar}{\sqrt{2m\hbar\omega}} (x \mp \I p) = \pm \omega\hbar a_ \pm
\end{equation}
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