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雅可比常量

         

预备知识 限制性三体问题,拉格朗日方程

   在 “限制性三体问题” 中,我们推导了第三天体 C 的动能、势能、角动量表达式.

   这里对限制性三体问题进一步特殊化,假设原二体系统围绕质心作圆周运动,即大质量天体 A 和 B 的距离 $R$ 在运动过程中不变,则在旋转坐标系中,A、B 是相对静止的.并且天体 A、B 将作匀速圆周运动(参考 “轨道参数-时间变量” 中关于圆轨道的讨论),即角速度 $\omega$ 也恒定不变.

动力学方程

   三体系统在空间中自由度为 9,但由于天体 A 和 B 的运动模式已知,故限制性三体系统的自由度为 3,可用质点 C 在旋转坐标系中的广义坐标 $x$,$y$,$z$ 描述.将质点 C 的动能 $T$(式 3 )和势能 $U$(式 4 )代入拉格朗日方程

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\partial (T-U)}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial (T-U)}{\partial q_i} \quad (q_i\; \rightarrow \; x,y,z) \end{equation}
可得质点 C 的动力学微分方程组
\begin{align} -\omega^2 x - 2\omega\dot{y} + \ddot{x} &=- \frac{\partial U}{\partial x} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}[x+(1-\mu)R]-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x-\mu R)\\%2 -\omega^2 y +2\omega\dot{y} + \ddot{y} &=- \frac{\partial U}{\partial y} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}y-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}y\\%3 \ddot{z} &=- \frac{\partial U}{\partial z} =-\frac{\mu GM}{r_1^3}z-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}z\end{align}

雅可比常量

   由于质点 C 的角动量在惯性坐标轴上的分量和机械能分别守恒,故这些物理量的线性组合也是守恒量.为统一量纲,可以令角动量分量乘以角速度.在所有这些线性组合中,有一种组合具有实际的物理意义,记这个组合量为 $E$

\begin{equation}\begin{aligned} E &=(T+U)-\omega L_z\\ &=\frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2-\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{1}{2}m\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) -\frac{\mu GMm}{r_1}-\frac{(1-\mu)GMm}{r_2} \end{aligned} \end{equation}
物理量 $E$ 具有能量的量纲.其中 $\frac{1}{2}m \left(\dot{x}^2-\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) $ 是质点 C 相对旋转坐标系的动能,$E$ 的其余部分只与位置相关,故可解释为势能.在势能部分,引力势能 $-\mu GMm/r_1-(1-\mu)GMm/r_2$ 与坐标系的选取无关,而 $-\frac{1}{2}m\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) $ 是由于坐标系 $xOy$ 的旋转引起的,可将其解释为质点 C 所受的向心力由于坐标轴自身的旋转而产生的势能.守恒量 $E$ 称为雅可比常量,可看作是第三天体相对于旋转坐标系具有的能量.

推导

   将式 2 乘以 $\dot{x}$,式 3 乘以 $\dot{y}$,式 4 乘以 $\dot{z}$,再将三个式子相加,可得

\begin{equation} \begin{aligned} &\dot{x} \ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z}-\omega^2 \left(x\dot{x}+y\dot{y} \right) \\ &=-\frac{\mu GM}{r_1^3}[x\dot{x}+(1-\mu)R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}]-\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x\dot{x}-\mu R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}) \end{aligned} \end{equation}
其中,注意到
\begin{align} \dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z} &=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) \\%7 \omega^2 \left(x\dot{x}+y\dot{y} \right) &=\frac{1}{2}\omega^2 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(x^2+y^2 \right) \\%8 -\frac{\mu GM}{r_1^3}[x\dot{x}+(1-\mu)R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}] &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{\mu GM}{r_1} \right) \\%9 -\frac{(1-\mu)GM}{r_2^3}(x\dot{x}-\mu R\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\frac{(1-\mu) GM}{r_2} \right) \end{align}
将以上四式代入式 6 可得
\begin{equation}\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{\omega^2}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left(x^2+y^2 \right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{\mu GM}{r_1}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \frac{(1-\mu) GM}{r_2}=0 \end{equation}
于是
\begin{equation} \frac{1}{2} \left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 \right) -\frac{1}{2}\omega^2 \left(x^2+y^2 \right) -\frac{\mu GM}{r_1}-\frac{(1-\mu) GM}{r_2}=Const \end{equation}
式 12 就是单位质量的雅可比常量.

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