图

电磁场标势和矢势

预备知识 法拉第电磁感应

结论

   用标势和矢势表示电磁场

\begin{equation} \bvec E = -\grad \varphi - \pdvTwo{\bvec A}{t} \end{equation}
\begin{equation} \bvec B = \curl \bvec A \end{equation}

推导

   首先定义 $\bvec A$, 则由法拉第电磁感应定律(式 2

\begin{equation} \curl \qtyRound{\bvec E + \pdvTwo{\bvec A}{t}} = \curl \bvec E + \pdvTwo{\bvec B}{t} = \bvec 0 \end{equation}
这说括号中的矢量可以表示为一个标量函数的梯度,即标势 $\varphi$, 负号是为了在静电场的情况下使得标势等于电势.

标势和矢势的麦克斯韦方程组

   将式 1 式 2 代入麦克斯韦方程组可以得到两条与麦克斯韦方程组等效的方程

\begin{equation} \laplacian \varphi + \pdv{t} (\div \bvec A) = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \qtyRound{\laplacian \bvec A - \mu_0\epsilon_0 \pdvTwo[2]{\bvec A}{t}} - \grad \qtyRound{\div \bvec A + \mu_0\epsilon_0 \pdvTwo{\varphi}{t}} = -\mu_0\bvec J \end{equation}

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