Yukawa 势

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 散射理论与 S 矩阵

   Yukawa 提出一个费米子与标量粒子耦合的相互作用理论,它的作用量可以写为

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L}=\bar\psi (i\gamma^\mu-m) \partial_\mu \psi+ \frac{1}{2}(\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi + m_\phi^2 \phi^2) + g\bar\psi\phi\psi \end{aligned} \end{equation}
其中 $g\bar\psi \phi\psi$ 意味着费米子与标量粒子耦合的相互作用,其耦合常数为 $g$。Yukawa 用这一理论给出了核子间强相互作用的一种解释。在非相对论极限下,两个费米子(或反费米子)之间的非相对论势能为
\begin{equation} \begin{aligned} V(r)=-\frac{g^2}{4\pi} \frac{1}{r} e^{- m_\phi r} \end{aligned} \end{equation}
这是一个吸引势。由于有一个 $e^{-m_\phi r}$ 的随距离增加而减小的因子,Yukawa 相互作用是一个短程的相互作用。下面我们通过计算一阶树图的费曼矩阵元,利用 Born 近似给出非相对论情形下 Yukawa 势的结果。

1. $e^-e^-\rightarrow e^-e^-$ 的 Yukawa 势

   我们先计算两体散射过程 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },s,+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },r,+ \right\rangle \rightarrow \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',+ \right\rangle $ 的费曼矩阵元忽略高圈图的贡献,我们只保留其树图的贡献。在这里 $+$ 代表费米子,$-$ 代表反费米子。要注意 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',+ \right\rangle $ 对应的左矢是 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+ \right\rvert = \left\langle 0 \right\rvert a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{r'} a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}^{s'}$,在我们计算过程中产生湮灭算符的顺序对结果的正负号非常重要。

   最低阶的树图有两个,利用 Wick 定理写出其对应的两种 wick 缩并,再利用 Feynman 规则写出它对 Feynman 矩阵元的贡献:

\begin{equation} \begin{aligned} \notag i\mathcal{M}&= \frac{(-ig)^2}{2!}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} \int \,\mathrm{d}^{4}{y} { \langle\overset{1}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+};\overset{2}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+}| (\overset{3}\phi \overset{1}{\bar{\psi}} \overset{4}\psi)_x (\overset{3}\phi \overset{2}{\bar{\psi}} \overset{5}\psi)_y |\overset{4}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+};\overset{5}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,+} \rangle }+(x\leftrightarrow y)\\ &\quad + \frac{(-ig)^2}{2!}\int \,\mathrm{d}^{4}{x} \int \,\mathrm{d}^{4}{y} \langle\overset{1}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+};\overset{2}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',+}| (\overset{3}\phi \overset{1}{\bar{\psi}} \overset{4}\psi)_x (\overset{3}\phi \overset{2}{\bar{\psi}} \overset{5}\psi)_y |\overset{5}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+};\overset{4}{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,+} \rangle +(x\leftrightarrow y)\\ &=(-ig)^2\left( \bar u^{s'}(p')u^s(p) \frac{i}{(p'-p)^2-m_{\phi}^2} \bar u^{r'}(k') u^r(k) \right.\\ &\left.\quad -\bar u^{s'}(p')u^r(k) \frac{i}{(p'-k)^2-m_{\phi}^2} \bar u^{r'}(k') u^{s}(p) \right) \end{aligned} \end{equation}
在非相对论极限下,两个费米子之间是可区分的,那么第二项可以被忽略。此外由于 $| \boldsymbol{\mathbf{p}} |\ll 1$,有如下的近似:$p=(m,{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^2),k=(m,{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }|^2),\cdots$,$(p-k)^2=-|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }-{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }|^2+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^4)$,因此对于 Dirac 旋量式 16 ,其非相对论近似为
\begin{equation} \begin{aligned} &u^r(k)=\sqrt{m} \begin{pmatrix}\xi^r\\ \xi^r\end{pmatrix}+O(|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|),\quad \xi^{r\dagger}\xi^s=\delta_{rs}\\ &\bar u^s(p') u^r(p)=2m \delta_{rs} \end{aligned} \end{equation}
代入式 3 我们得到
\begin{equation} \begin{aligned} i\mathcal{M} = i g^2 (2m)^2 \frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }|^2+m_\phi^2}\delta_{s' s}\delta_{r' r} \end{aligned} \end{equation}
这意味着非相对论极限下两个费米子的自旋不会发生改变。下面我们用这一结果来求解非相对论势 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$:它是非相对论势能算符 $V$ 的坐标表象 $V \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle =V( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。

   注意到 $\mathcal{S}$ 矩阵元的定义为 $\mathcal{S}_{\beta\alpha}=\delta_{\beta\alpha}+i\mathcal{T}_{\beta\alpha}$,而 $i\mathcal{T}=i\mathcal{M}(2\pi)^4 \delta^4(p'+k'-p-k)$, $i\mathcal{T} = \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iT \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $。根据一阶玻恩近似,$T$ 近似为非相对论势能算符 $V$ 再乘以 $-2\pi\delta(E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })$(式 14 式以及玻恩近似可得。)。为了求出势能算符的坐标表象的表达式,我们还需要注意这里的初态和末态的归一化问题:$\langle{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle=2m\cdot (2\pi)^3 \delta({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }) = 2m \langle{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'|{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle_{NR}$('NR' 表示非相对论情形下粒子波函数的归一化),于是对于初态和末态都是双粒子的情形,我们有

\begin{equation} \begin{aligned} i\mathcal{T}&=(2m)^2 \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iT \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle _{NR}\\ & =-(2m)^2 \left\langle { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }' \right\rvert iV \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle _{NR} \cdot (2\pi) \delta(E_{{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }) \\ & = -i(2m)^2 \tilde{V}({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })(2\pi)^3 \delta({ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'+{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }-{ \boldsymbol{\mathbf{k}} })\cdot (2\pi) \delta(E_{{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'}-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} })\\ &=-i(2m)^2 \tilde{V}( \boldsymbol{\mathbf{q}} ) (2\pi)^4 \delta^4(p'+k'-p-k),\quad \boldsymbol{\mathbf{q}} ={ \boldsymbol{\mathbf{p}} }'-{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \end{aligned} \end{equation}
上式中 $\tilde V( \boldsymbol{\mathbf{q}} )$ 是非相对论情形下的势能算符 $V( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 的动量表象,联系式 5 可得:
\begin{equation} \begin{aligned} \tilde{V}( \boldsymbol{\mathbf{q}} )&=\frac{-g^2}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}\\ V({ \boldsymbol{\mathbf{x}} })&=\int \frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} } }{(2\pi)^3} \frac{-g^2}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}e^{i \boldsymbol{\mathbf{q}} \cdot { \boldsymbol{\mathbf{x}} }} =\frac{-g^2}{4\pi^2}\int_0^\infty \,\mathrm{d}{q} q^2\int_{-1}^1 \,\mathrm{d}{t} \frac{e^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|t}}{| \boldsymbol{\mathbf{q}} |^2+m_\phi^2}\\ &= \frac{-g^2}{4\pi^2}\int_0^\infty \,\mathrm{d}{q} q^2\frac{e^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}-e^{-iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}}{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} \frac{1}{q^2+m_\phi^2}\\ &=\frac{ig^2}{4\pi^2|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}\int_{-\infty}^\infty \,\mathrm{d}{q} \frac{qe^{iq|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|}}{q^2+m_\phi^2}\\ &=-\frac{g^2}{4\pi}\frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} e^{-m_\phi |{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} \end{aligned} \end{equation}
这是一个吸引的 Yukawa 势,可以看到它与库仑势的形式非常相像。

2. $e^+e^-\rightarrow e^+e^-$ 的 Yukawa 势

   我们再来考察两体散射过程 $ \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} },s,+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },r,- \right\rangle \rightarrow \left\lvert { \boldsymbol{\mathbf{p}} }',s',+;{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }',r',- \right\rangle $,其中 $-$ 表示 $e^+$。类似前面的计算,这里的 Feynman 矩阵元为

\begin{equation} \begin{aligned} i\mathcal{M}&=(-ig)^2 \left( -\bar u^{s'}(p')u^s(p) \frac{i}{|p'-p|^2-m_\phi^2} \bar v^{r}(k) v^{r'}(k')\right.\\ &\left.\quad + \bar u^{s'}(p')v^{r'}(k') \frac{i}{|p+k|^2-m_\phi^2} \bar v^{r}(k) u^s(p)\right) \end{aligned} \end{equation}
其中第二项对应的 Feynman 图是正负电子对湮灭成光子再产生正负电子对。在非相对论极限下,$|p'-p|\ll |p+k|$,因此我们可以忽略第二项。利用 $\bar v^s(p') v^r(p)=-2m \delta_{rs}$,上式的结果与 $e^-e^-\rightarrow e^- e^-$ 过程的 Feynman 矩阵元是一样的,我们可以得到吸引的 Yukawa 势。 \[ V({ \boldsymbol{\mathbf{x}} })=-\frac{g^2}{4\pi}\frac{1}{|{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} e^{-m_\phi |{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }|} \]


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