Yukawa 势

贡献者： _Eden_

预备知识　散射理论与 S 矩阵

　　 Yukawa 提出一个费米子与标量粒子耦合的相互作用理论，它的作用量可以写为

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{r} L = \bar{ψ} (i γ^{μ} - m) \partial_{μ} ψ + \frac{1}{2} (\partial^{μ} ϕ \partial_{μ} ϕ + m_{ϕ}^{2} ϕ^{2}) + g \bar{ψ} ϕ ψ . \end{array} \end{matrix}

其中

g \bar{ψ} ϕ ψ

意味着费米子与标量粒子耦合的相互作用，其耦合常数为

g

。Yukawa 用这一理论给出了核子间强相互作用的一种解释。在非相对论极限下，两个费米子（或反费米子）之间的非相对论势能为

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} V (r) = - \frac{g^{2}}{4 π} \frac{1}{r} e^{- m_{ϕ} r}, \end{array} \end{matrix}

这是一个吸引势。由于有一个

e^{- m_{ϕ} r}

的随距离增加而减小的因子，Yukawa 相互作用是一个短程的相互作用。下面我们通过计算一阶树图的费曼矩阵元，利用 Born 近似给出非相对论情形下 Yukawa 势的结果。

1. $e^{-} e^{-} \to e^{-} e^{-}$ 的 Yukawa 势

　　我们先计算两体散射过程 $| p, s, +; k, r, + ⟩ \to | p^{'}, s^{'}, +; k^{'}, r^{'}, + ⟩$ 的费曼矩阵元忽略高圈图的贡献，我们只保留其树图的贡献。在这里 $+$ 代表费米子， $-$ 代表反费米子。要注意 $| p^{'}, s^{'}, +; k^{'}, r^{'}, + ⟩$ 对应的左矢是 $⟨ p^{'}, s^{'}, +; k^{'}, r^{'}, + | = ⟨ 0 | a_{k^{'}}^{r^{'}} a_{p^{'}}^{s^{'}}$ ，在我们计算过程中产生湮灭算符的顺序对结果的正负号非常重要。

　　最低阶的树图有两个，利用 Wick 定理写出其对应的两种 wick 缩并，再利用 Feynman 规则写出它对 Feynman 矩阵元的贡献：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} i M & = \frac{(- i g)^{2}}{2!} \int d^{4} x \int d^{4} y ⟨ \overset{1}{p^{'}, s^{'}, +}; \overset{2}{k^{'}, r^{'}, +} | (\overset{3}{ϕ} \overset{1}{\bar{ψ}} \overset{4}{ψ})_{x} (\overset{3}{ϕ} \overset{2}{\bar{ψ}} \overset{5}{ψ})_{y} | \overset{4}{p, s, +}; \overset{5}{k, r, +} ⟩ + (x \leftrightarrow y) \\ + \frac{(- i g)^{2}}{2!} \int d^{4} x \int d^{4} y ⟨ \overset{1}{p^{'}, s^{'}, +}; \overset{2}{k^{'}, r^{'}, +} | (\overset{3}{ϕ} \overset{1}{\bar{ψ}} \overset{4}{ψ})_{x} (\overset{3}{ϕ} \overset{2}{\bar{ψ}} \overset{5}{ψ})_{y} | \overset{5}{p, s, +}; \overset{4}{k, r, +} ⟩ + (x \leftrightarrow y) \\ = (- i g)^{2} ({\bar{u}}^{s^{'}} (p^{'}) u^{s} (p) \frac{i}{(p^{'} - p)^{2} - m_{ϕ}^{2}} {\bar{u}}^{r^{'}} (k^{'}) u^{r} (k) \\ - {\bar{u}}^{s^{'}} (p^{'}) u^{r} (k) \frac{i}{(p^{'} - k)^{2} - m_{ϕ}^{2}} {\bar{u}}^{r^{'}} (k^{'}) u^{s} (p)) . \end{aligned} \end{matrix}

在非相对论极限下，两个费米子之间是可区分的，那么第二项可以被忽略。此外由于

| p | ≪ 1

，有如下的近似：

p = (m, p) + O (| p |^{2}), k = (m, k) + O (| k |^{2}), \dots

(p - k)^{2} = - | p - k |^{2} + O (| p |^{4})

，因此对于 Dirac 旋量式 16 ，其非相对论近似为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} u^{r} (k) = \sqrt{m} (\begin{array}{c} ξ^{r} \\ ξ^{r} \end{array}) + O (| p |), ξ^{r †} ξ^{s} = δ_{r s}, \\ {\bar{u}}^{s} (p^{'}) u^{r} (p) = 2 m δ_{r s} . \end{aligned} \end{matrix}

代入式 3 我们得到

\begin{matrix} (5) & \begin{array}{r} i M = i g^{2} (2 m)^{2} \frac{1}{| p^{'} - p |^{2} + m_{ϕ}^{2}} δ_{s^{'} s} δ_{r^{'} r} . \end{array} \end{matrix}

这意味着非相对论极限下两个费米子的自旋不会发生改变。下面我们用这一结果来求解非相对论势

V (x)

：它是非相对论势能算符

V

的坐标表象

V | x ⟩ = V (x) | x ⟩

。

　　注意到 $S$ 矩阵元的定义为 $S_{β α} = δ_{β α} + i T_{β α}$ ，而 $i T = i M (2 π)^{4} δ^{4} (p^{'} + k^{'} - p - k)$ , $i T = ⟨ p^{'}, k^{'} | i T | p, k ⟩$ 。根据一阶玻恩近似， $T$ 近似为非相对论势能算符 $V$ 再乘以 $- 2 π δ (E_{p^{'}} - E_{p})$ （式 14 式以及玻恩近似可得。）。为了求出势能算符的坐标表象的表达式，我们还需要注意这里的初态和末态的归一化问题： $⟨ p^{'} | p ⟩ = 2 m \cdot (2 π)^{3} δ (p^{'} - p) = 2 m ⟨ p^{'} | p ⟩_{N R}$ （'NR' 表示非相对论情形下粒子波函数的归一化），于是对于初态和末态都是双粒子的情形，我们有

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} i T & = (2 m)^{2} ⟨ p^{'}, k^{'} | i T {| p, k ⟩}_{N R} \\ = - (2 m)^{2} ⟨ p^{'}, k^{'} | i V {| p, k ⟩}_{N R} \cdot (2 π) δ (E_{p^{'}} - E_{p}) \\ = - i (2 m)^{2} \tilde{V} (p^{'} - p) (2 π)^{3} δ (p^{'} + k^{'} - p - k) \cdot (2 π) δ (E_{p^{'}} - E_{p}) \\ = - i (2 m)^{2} \tilde{V} (q) (2 π)^{4} δ^{4} (p^{'} + k^{'} - p - k), q = p^{'} - p . \end{aligned} \end{matrix}

上式中

\tilde{V} (q)

是非相对论情形下的势能算符

V (x)

的动量表象，联系式 5 可得：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \tilde{V} (q) & = \frac{- g^{2}}{| q |^{2} + m_{ϕ}^{2}} \\ V (x) & = \int \frac{d^{3} q}{(2 π)^{3}} \frac{- g^{2}}{| q |^{2} + m_{ϕ}^{2}} e^{i q \cdot x} = \frac{- g^{2}}{4 π^{2}} \int_{0}^{\infty} d q q^{2} \int_{- 1}^{1} d t \frac{e^{i q | x | t}}{| q |^{2} + m_{ϕ}^{2}} \\ = \frac{- g^{2}}{4 π^{2}} \int_{0}^{\infty} d q q^{2} \frac{e^{i q | x |} - e^{- i q | x |}}{i q | x |} \frac{1}{q^{2} + m_{ϕ}^{2}} \\ = \frac{i g^{2}}{4 π^{2} | x |} \int_{- \infty}^{\infty} d q \frac{q e^{i q | x |}}{q^{2} + m_{ϕ}^{2}} \\ = - \frac{g^{2}}{4 π} \frac{1}{| x |} e^{- m_{ϕ} | x |} . \end{aligned} \end{matrix}

这是一个吸引的 Yukawa 势，可以看到它与库仑势的形式非常相像。

2. $e^{+} e^{-} \to e^{+} e^{-}$ 的 Yukawa 势

　　我们再来考察两体散射过程 $| p, s, +; k, r, - ⟩ \to | p^{'}, s^{'}, +; k^{'}, r^{'}, - ⟩$ ，其中 $-$ 表示 $e^{+}$ 。类似前面的计算，这里的 Feynman 矩阵元为

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} i M & = (- i g)^{2} (- {\bar{u}}^{s^{'}} (p^{'}) u^{s} (p) \frac{i}{| p^{'} - p |^{2} - m_{ϕ}^{2}} {\bar{v}}^{r} (k) v^{r^{'}} (k^{'}) \\ + {\bar{u}}^{s^{'}} (p^{'}) v^{r^{'}} (k^{'}) \frac{i}{| p + k |^{2} - m_{ϕ}^{2}} {\bar{v}}^{r} (k) u^{s} (p)), \end{aligned} \end{matrix}

其中第二项对应的 Feynman 图是正负电子对湮灭成光子再产生正负电子对。在非相对论极限下，

| p^{'} - p | ≪ | p + k |

，因此我们可以忽略第二项。利用

{\bar{v}}^{s} (p^{'}) v^{r} (p) = - 2 m δ_{r s}

，上式的结果与

e^{-} e^{-} \to e^{-} e^{-}

过程的 Feynman 矩阵元是一样的，我们可以得到吸引的 Yukawa 势。

V (x) = - \frac{g^{2}}{4 π} \frac{1}{| x |} e^{- m_{ϕ} | x |} .

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Yukawa 势

1. e−e−→e−e− 的 Yukawa 势

2. e+e−→e+e− 的 Yukawa 势

1. $e^{-} e^{-} \to e^{-} e^{-}$ 的 Yukawa 势

2. $e^{+} e^{-} \to e^{+} e^{-}$ 的 Yukawa 势