Bhabha 散射

贡献者：待更新

　　 Consider the process $e^{+} (p) e^{+} (k) \to γ (p^{'}) γ (k^{'})$

\begin{matrix} (1) & \begin{array}{r} i M = (- i e)^{2} ε_{μ}^{* λ} (p^{'}) ε_{ν}^{* λ^{'}} (k^{'}) ({\bar{v}}^{r} (k) γ^{ν} \frac{i (p̸ - {p̸}^{'} + m)}{(p - p^{'})^{2} - m^{2}} γ^{μ} u^{s} (p) + {\bar{v}}^{r} (k) γ^{μ} \frac{i (p̸ - {k̸}^{'} + m)}{(p - k^{'})^{2} - m^{2}} γ^{ν} u^{s} (p)) . \end{array} \end{matrix}

Now we calculate the scattering amplitude. When we sum over

λ, λ^{'}

, we use

\begin{matrix} (2) & \begin{array}{r} \sum_{λ = 1, 2} ε_{μ}^{* λ} ε_{μ^{'}}^{λ} = - g_{μ μ^{'}} . \end{array} \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \sum^{―} | M |^{2} & = \frac{e^{4}}{4} [\frac{1}{[(p - p^{'})^{2} - m^{2}]^{2}} Tr [(k̸ - m) γ^{ν} (p̸ - {p̸}^{'} + m) γ^{μ} (p̸ + m) γ_{μ} (p̸ - {p̸}^{'} + m) γ_{ν}] \\ + \frac{1}{[(p - k^{'})^{2} - m^{2}]^{2}} Tr [(k̸ - m) γ^{ν} (p̸ - {k̸}^{'} + m) γ^{μ} (p̸ + m) γ_{μ} (p̸ - {k̸}^{'} + m) γ_{ν}] \\ + \frac{1}{[(p - p^{'})^{2} - m^{2}] [(p - k^{'})^{2} - m^{2}]} Tr [(k̸ - m) γ^{ν} (p̸ - {p̸}^{'} + m) γ^{μ} (p̸ + m) γ_{ν} (p̸ - {k̸}^{'} + m) γ_{μ}] \\ + \frac{1}{[(p - p^{'})^{2} - m^{2}] [(p - k^{'})^{2} - m^{2}]} Tr [(k̸ - m) γ^{μ} (p̸ - {k̸}^{'} + m) γ^{ν} (p̸ + m) γ_{μ} (p̸ - {p̸}^{'} + m) γ_{ν}]] . \end{aligned} \end{matrix}

Take the third line as an example:

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} Tr [(k̸ - m) γ^{ν} (p̸ - {p̸}^{'} + m) γ^{μ} (p̸ + m) γ_{ν} (p̸ - {k̸}^{'} + m) γ_{μ}] \\ = Tr [(k̸ - m) γ^{ν} (2 p^{μ} - {p̸}^{'} γ^{μ}) (p̸ + m) (2 p_{ν} - γ_{ν} {k̸}^{'}) γ_{μ}] \\ = - 32 (p \cdot k) (p^{'} \cdot k^{'}) - 16 m^{2} p^{'} \cdot k^{'} + [32 (k \cdot p) (k^{'} \cdot p) - 16 m^{2} k \cdot k^{'}] \\ + [32 (k \cdot p) (p^{'} \cdot p) - 16 m^{2} k \cdot p^{'}] + 32 m^{2} k^{'} \cdot p + 32 m^{2} p \cdot p^{'} + 16 m^{2} k \cdot p - 16 m^{4} \\ = 8 m^{2} (p + k)^{2} - 32 m^{4} . \end{aligned} \end{matrix}

Finally we have

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \sum^{―} | M |^{2} & = 8 e^{4} [\frac{1}{4 (p \cdot p^{'})^{2}} ((k \cdot p^{'}) (p \cdot p^{'}) + m^{2} (k \cdot p^{'} + 2 p \cdot p^{'} - k \cdot p) - 2 m^{4}) \\ + \frac{1}{4 (p \cdot k^{'})^{2}} ((k \cdot k^{'}) (p \cdot k^{'}) + m^{2} (k \cdot k^{'} + 2 p \cdot k^{'} - k \cdot p) - 2 m^{4}) \\ + \frac{1}{4 (p \cdot p^{'}) (p \cdot k^{'})} (m^{2} (p \cdot p^{'} + p \cdot k^{'}) - 2 m^{4})] \\ = 2 e^{4} [\frac{k \cdot p^{'}}{p \cdot p^{'}} + \frac{m^{2}}{p \cdot p^{'}} - \frac{m^{4}}{(p \cdot p^{'})^{2}} \\ + \frac{p \cdot p^{'}}{p \cdot k^{'}} + \frac{m^{2}}{p \cdot k^{'}} - \frac{m^{4}}{(p \cdot k^{'})^{2}} \\ + m^{2} (\frac{1}{p \cdot k^{'}} + \frac{1}{p \cdot p^{'}}) - \frac{2 m^{4}}{(p \cdot p^{'}) (p \cdot k^{'})}] \\ = 2 e^{4} [\frac{p \cdot k^{'}}{p \cdot p^{'}} + \frac{p \cdot p^{'}}{p \cdot k^{'}} + 2 m^{2} (\frac{1}{p \cdot p^{'}} + \frac{1}{p \cdot k^{'}}) - m^{4} {(\frac{1}{p \cdot p^{'}} + \frac{1}{p \cdot k^{'}})}^{2}] . \end{aligned} \end{matrix}

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