四维矢量

                     

贡献者： 叶月2_; addis

1. 概念

　　 设 $K$ 与 $K^{\prime }$ 为两个坐标原点重合的惯性系。在开始计时后，$K^{\prime }$ 相对 $K$ 有沿着 $x$ 轴的相对速度。从 $0$ 时刻开始，光信号沿着 x 轴运动，设其在两个参考系的时空坐标分别为 $(t,x,y,z)$ 与 $(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，由光速不变，我们有：

　　 $$d{s}^2=c{t}^2-x^2-y^2-z^2=c{t}^{\prime 2}-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}.$$

　　 从直观上，这看起来是坐标矢量 $(t,x,y,z)$“长度” 的平方不随惯性系的改变而改变。准确来说，是其逆变矢量和协变矢量的对偶内积。形式化这个运算，该闵氏时空下的度规为 ${\eta }_{\mu \nu }=diag(+1,-1,-1,-1)$，设光速为 1，我们有

　　 这意味着改变惯性系相当于对原坐标矢量进行保距变换，即正交线性变换，我们把这个正交线性变换称之为洛伦兹变换。设洛伦兹变换矩阵为 $\mathrm{\Lambda }$，在矩阵下，这个线性变换表示为：$x^{T}x=x^T{\mathrm{\Lambda }}^{-1}\mathrm{\Lambda }x$，通常用 ${\mathrm{\Lambda }}_{\nu }^{\mu }$ 的形式表示矩阵，配合指标表示法进行运算。那么把该矩阵回代式 1 我们有

　　 利用坐标矢量的洛伦兹变换，我们可以把很多物理量扩展成四维形式。

2. 电动力学实例

电流密度

　　 任一区域内的电荷总量不随参考系的改变而改变。那么，我们写下电荷守恒定律的微分形式

通过习题 2，我们可以知道，如果把电流密度扩展为四矢量 $(\rho ,\mathit{J}$，那么上式可以写为 显然，这是一个洛伦兹协变方程。但这样的扩展到底是否可行呢？我们需要检验电流密度是否满足洛伦兹变换。设 ${\rho }_0$ 为该区域的电荷密度（以粒子为参考系），若带电粒子速度为 $v$,则 $\mathit{J}=\rho \mathit{v}$。由于转换惯性系时，线元仅在 boost 的方向上收缩，那么由于粒子运动带来的体积元变化为 $d{V}^{\prime }=\frac{1}{\gamma }dV$，则 $\rho =\gamma {\rho }_0$，因此四维矢量为 $(\gamma {\rho }_0,\gamma {\rho }_0\mathit{v})$，即 ${\rho }_0{U}^{\mu }$，标量乘以四速度矢量，显然是符合洛伦兹变换的。

矢势

　　 将矢势引入电磁场后，电场的旋度可以表示为

由于对梯度函数取旋度为 0，因而可以引入一标势 $\varphi$，从而将上式的括号项表示为 能产生物理意义的是 以及 可以看到，如果做规范变换，使得 不会产生观测上的不同结果。该规范变换可以写为任意函数的四散度项 ${\partial }^{\mu }\psi$，由于标势加的是时间项，因而提示我们该矢势的扩展为 $(\varphi ,\mathit{A})$。（如无特别说明，矢量都是指代逆变矢量）

3. 拓展：洛伦兹张量

　　 我们知道，张量实际上是多重线性映射，而洛伦兹张量则默认了基变换的过渡矩阵为洛伦兹矩阵。以二阶张量 $F^{\mu \nu }$ 为例，