四维矢量

                     

贡献者: 叶月2_; addis

  • 本文缺少预备知识,初学者可能会遇到困难。

1. 概念

   设 KK 为两个坐标原点重合的惯性系。在开始计时后,K 相对 K 有沿着 x 轴的相对速度。从 0 时刻开始,光信号沿着 x 轴运动,设其在两个参考系的时空坐标分别为 (t,x,y,z)(t,x,y,z),由光速不变,我们有:

   ds2=ct2x2y2z2=ct2x2y2z2 .

   从直观上,这看起来是坐标矢量 (t,x,y,z)“长度” 的平方不随惯性系的改变而改变。准确来说,是其逆变矢量和协变矢量的对偶内积。形式化这个运算,该闵氏时空下的度规为 ημν=diag(+1,1,1,1),设光速为 1,我们有

(1)xμxμ=ημνxμxν=ηρσxρxσ ,

   这意味着改变惯性系相当于对原坐标矢量进行保距变换,即正交线性变换,我们把这个正交线性变换称之为洛伦兹变换。设洛伦兹变换矩阵为 Λ,在矩阵下,这个线性变换表示为:xTx=xTΛ1Λx,通常用 Λνμ 的形式表示矩阵,配合指标表示法进行运算。那么把该矩阵回代式 1 我们有

(2)Λνρxν=xρ ,
(3)ημν=ηρσΛνρΛμσ ,

   利用坐标矢量的洛伦兹变换,我们可以把很多物理量扩展成四维形式。

习题 1 力学实例

   利用洛伦兹变换,构建内积不变的速度与动量。 提示:利用标量是洛伦兹不变的,矢量与标量相乘。

习题 2 梯度算符

   证明:梯度算符(分量为 μ=xμ)在洛伦兹变换下恰似一协变矢量

   如无特别说明,一般坐标矢量都是指逆变矢量,即主空间向量,指标在上侧(可视为列向量,则相应的,协变矢量是行向量)。由式 2 我们得:

(4)Λνμ=xμxν ,
对于逆矩阵,则有
(5)(Λ1)νμ=xμxν ,
因此,通过链式法则可求证。 相应的,对协变坐标矢量求梯度为梯度算符的逆变形式。达朗贝尔算符 μu 为标量算符,在洛伦兹变换下不变。

2. 电动力学实例

电流密度

   任一区域内的电荷总量不随参考系的改变而改变。那么,我们写下电荷守恒定律的微分形式

(6)ρt+J=0 ,
通过习题 2,我们可以知道,如果把电流密度扩展为四矢量 (ρ,J,那么上式可以写为
(7)μJμ=0 ,
显然,这是一个洛伦兹协变方程。但这样的扩展到底是否可行呢?我们需要检验电流密度是否满足洛伦兹变换。设 ρ0 为该区域的电荷密度(以粒子为参考系),若带电粒子速度为 v,则 J=ρv。由于转换惯性系时,线元仅在 boost 的方向上收缩,那么由于粒子运动带来的体积元变化为 dV=1γdV,则 ρ=γρ0,因此四维矢量为 (γρ0,γρ0v),即 ρ0Uμ,标量乘以四速度矢量,显然是符合洛伦兹变换的。

矢势

   将矢势引入电磁场后,电场的旋度可以表示为

(8)×(E+At)=0 ,
由于对梯度函数取旋度为 0,因而可以引入一标势 ϕ,从而将上式的括号项表示为
(9)E+At=φ ,
能产生物理意义的是
(10)E=φAt ,
以及
(11)B=×A ,
可以看到,如果做规范变换,使得
(12)A=A+ψ,φ=φψt ,
不会产生观测上的不同结果。该规范变换可以写为任意函数的四散度项 μψ,由于标势加的是时间项,因而提示我们该矢势的扩展为 (ϕ,A)。(如无特别说明,矢量都是指代逆变矢量)

3. 拓展:洛伦兹张量

   我们知道,张量实际上是多重线性映射,而洛伦兹张量则默认了基变换的过渡矩阵为洛伦兹矩阵。以二阶张量 Fμν 为例,

(13)Fμν=ΛρμΛσνFρσ ,
(14)Fμν=(Λ1)μρ(Λ1)νσFρσ ,


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