四维矢量
贡献者: 叶月2_; addis
1. 概念
设 与 为两个坐标原点重合的惯性系。在开始计时后, 相对 有沿着 轴的相对速度。从 时刻开始,光信号沿着 x 轴运动,设其在两个参考系的时空坐标分别为 与 ,由光速不变,我们有:
从直观上,这看起来是坐标矢量 “长度” 的平方不随惯性系的改变而改变。准确来说,是其逆变矢量和协变矢量的对偶内积。形式化这个运算,该闵氏时空下的度规为 ,设光速为 1,我们有
这意味着改变惯性系相当于对原坐标矢量进行保距变换,即正交线性变换,我们把这个正交线性变换称之为洛伦兹变换。设洛伦兹变换矩阵为 ,在矩阵下,这个线性变换表示为:,通常用 的形式表示矩阵,配合指标表示法进行运算。那么把该矩阵回代式 1 我们有
利用坐标矢量的洛伦兹变换,我们可以把很多物理量扩展成四维形式。
习题 1 力学实例
利用洛伦兹变换,构建内积不变的速度与动量。
提示:利用标量是洛伦兹不变的,矢量与标量相乘。
习题 2 梯度算符
证明:梯度算符(分量为 )在洛伦兹变换下恰似一协变矢量
如无特别说明,一般坐标矢量都是指逆变矢量,即主空间向量,指标在上侧(可视为列向量,则相应的,协变矢量是行向量)。由式 2 我们得:
对于逆矩阵,则有
因此,通过链式法则可求证。
相应的,对协变坐标矢量求梯度为梯度算符的逆变形式。达朗贝尔算符 为标量算符,在洛伦兹变换下不变。
2. 电动力学实例
电流密度
任一区域内的电荷总量不随参考系的改变而改变。那么,我们写下电荷守恒定律的微分形式
通过习题 2,我们可以知道,如果把电流密度扩展为四矢量 ,那么上式可以写为
显然,这是一个洛伦兹协变方程。但这样的扩展到底是否可行呢?我们需要检验电流密度是否满足洛伦兹变换。设 为该区域的电荷密度(以粒子为参考系),若带电粒子速度为 ,则 。由于转换惯性系时,线元仅在 boost 的方向上收缩,那么由于粒子运动带来的体积元变化为 ,则 ,因此四维矢量为 ,即 ,标量乘以四速度矢量,显然是符合洛伦兹变换的。
矢势
将矢势引入电磁场后,电场的旋度可以表示为
由于对梯度函数取旋度为 0,因而可以引入一标势 ,从而将上式的括号项表示为
能产生物理意义的是
以及
可以看到,如果做规范变换,使得
不会产生观测上的不同结果。该规范变换可以写为任意函数的四散度项 ,由于标势加的是时间项,因而提示我们该矢势的扩展为 。(如无特别说明,矢量都是指代逆变矢量)
3. 拓展:洛伦兹张量
我们知道,张量实际上是多重线性映射,而洛伦兹张量则默认了基变换的过渡矩阵为洛伦兹矩阵。以二阶张量 为例,
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