时空中的标量场

贡献者： zhousiyi

预备知识　标量场的谱

　　在海森堡绘景下，算符 $ϕ$ 和 $π$ 对时间的依赖关系为

\begin{matrix} (1) & ϕ (x) = ϕ (x, t) = e^{i H t} ϕ (x) e^{- i H t} . \end{matrix}

运动方程为

\begin{matrix} (2) & i \frac{\partial}{\partial t} O = [O, H] . \end{matrix}

由此我们可以计算出

ϕ

和

π

的时间依赖

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} i \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t) & = [ϕ (x, t), \int d^{3} x^{'} {\frac{1}{2} π^{2} (x^{'}, t) + \frac{1}{2} (\nabla ϕ (x^{'}, t))^{2} + \frac{1}{2} m^{2} ϕ^{2} (x^{'}, t)}] \\ = \int d^{3} x^{'} (i δ^{(3)} (x - x^{'}) π (x^{'}, t)) \\ = i π (x, t) . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} i \frac{\partial}{\partial t} π (x, t) & = [π (x, t), \int d^{3} x^{'} {\frac{1}{2} π^{2} (x^{'}, t) + \frac{1}{2} ϕ (x, t) (- \nabla^{2} + m^{2}) ϕ (x^{'}, t)}] \\ = \int d^{3} x^{'} (- i δ^{(3)} (x - x^{'}) (- \nabla^{2} + m^{2}) ϕ (x^{'}, t)) . \end{aligned} \end{matrix}

综上我们可以得知

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} ϕ = (\nabla^{2} - m^{2}) ϕ . \end{matrix}

这就是著名的克莱因-戈登方程。

　　我们可以把 $ϕ$ 场和 $π$ 场用产生湮灭算符表示出来。首先我们可以写出

\begin{matrix} (6) & H a_{p} = a_{p} (H - E_{p}) . \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (7) & H^{n} a_{p} = a_{p} (H - E_{p})^{n} . \end{matrix}

于是我们可以推出

\begin{matrix} (8) & e^{i H t} a_{p} e^{- i H t} = a_{p} e^{- i E_{p} t}, e^{i H t} a_{p}^{†} e^{- i H t} = a_{p}^{†} e^{i E_{p} t} . \end{matrix}

之后我们可以用产生湮灭算符来表示

π

场和

ϕ

场，结果是

\begin{matrix} (9) & ϕ (x, t) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} (a_{p} e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{†} e^{i p \cdot x}) |_{p^{0} = E_{p}} . \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & π (x, t) = \frac{\partial}{\partial t} ϕ (x, t) . \end{matrix}

我们对于动量算符

P

也可以进行同样的操作。我们可以证明

\begin{matrix} (11) & e^{- i P \cdot x} a_{p} e^{i P \cdot x} = a_{p} e^{i p \cdot x}, e^{- i P \cdot x} a_{p}^{†} e^{i P \cdot x} = a_{p}^{†} e^{- i p \cdot x} . \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} ϕ (x) & = e^{i (H t - P \cdot x)} ϕ (0) e^{- i (H t - P \cdot x)} \\ = e^{i P \cdot x} ϕ (0) e^{- i P \cdot x}, \end{aligned} \end{matrix}

这里

P^{μ} = (H, P)

。

　　现在来说一下式 9 的物理解释。 $e^{- i p^{0} t}$ 是正频模。 $e^{+ i p^{0} t}$ 是负频模。正频模的系数是湮灭算符，能够消灭一个粒子。负频模的系数是产生算符，能够产生一个粒子。

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