时空中的标量场

             

预备知识 标量场的谱

   在海森堡绘景下,算符 $\phi$ 和 $\pi$ 对时间的依赖关系为

\begin{equation} \phi(x) = \phi(\mathbf x, t) = e^{i H t}\phi(\mathbf x)e^{-iHt}~. \end{equation}
运动方程为
\begin{equation} i \frac{\partial}{\partial t}\mathcal O = [\mathcal O, H]~. \end{equation}
由此我们可以计算出 $\phi$ 和 $\pi$ 的时间依赖
\begin{equation} \begin{aligned} i \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x,t) & = \bigg[\phi(\mathbf x,t),\int d^3 x' \bigg\{ \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf x',t) + \frac{1}{2} (\nabla \phi(\mathbf x',t))^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2(\mathbf x',t) \bigg\}\bigg] \\ & = \int d^3 x' \bigg(i \delta^{(3)} (\mathbf x - \mathbf x') \pi(\mathbf x',t) \bigg) \\ & = i \pi (\mathbf x, t)~. \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} i\frac{\partial}{\partial t} \pi(\mathbf x, t) & = \bigg[ \pi(\mathbf x,t), \int d^3 x' \bigg\{ \frac{1}{2} \pi^2 (\mathbf x', t) + \frac{1}{2} \phi(\mathbf x, t) (-\nabla^2 + m^2 ) \phi(\mathbf x', t) \bigg\} \bigg] \\ & = \int d^3 x' \bigg( - i \delta^{(3)} (\mathbf x - \mathbf x') (-\nabla^2+m^2) \phi(\mathbf x',t) \bigg)~. \end{aligned} \end{equation}
综上我们可以得知
\begin{equation} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \phi = (\nabla^2 - m^2)\phi~. \end{equation}
这就是著名的克莱因-戈登方程.

   我们可以把 $\phi$ 场和 $\pi$ 场用产生湮灭算符表示出来.首先我们可以写出

\begin{equation} H a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p} (H - E_{\mathbf p})~. \end{equation}
因此
\begin{equation} H^n a_{\mathbf p} = a_{\mathbf p} (H - E_{\mathbf p})^n~. \end{equation}
于是我们可以推出
\begin{equation} e^{iHt} a_{\mathbf p} e^{-iHt} = a_{\mathbf p} e^{-i E_{\mathbf p}t}~, \quad e^{iHt} a^\dagger_{\mathbf p} e^{-iHt} = a^\dagger_{\mathbf p} e^{iE_{\mathbf p}t} ~. \end{equation}
之后我们可以用产生湮灭算符来表示 $\pi$ 场和 $\phi$ 场,结果是
\begin{equation} \phi(\mathbf x,t)= \int \frac{d^3 p }{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}} (a_{\mathbf p} e^{-i p \cdot x} + a^\dagger_{\mathbf p} e^{i p \cdot x}) \bigg|_{p^0 = E_{\mathbf p}}~. \end{equation}
\begin{equation} \pi(\mathbf x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x, t)~. \end{equation}
我们对于动量算符 $\mathbf P$ 也可以进行同样的操作.我们可以证明
\begin{equation} e^{-i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}} a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}}=a_{\mathbf{p}} e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}}, \quad e^{-i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}} a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{i \mathbf{P} \cdot \mathbf{x}}=a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{-i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \end{equation}
因此
\begin{equation} \begin{aligned} \phi(x) &=e^{i(H t-\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})} \phi(0) e^{-i(H t-\mathbf{P} \cdot \mathbf{x})} \\ &=e^{i P \cdot x} \phi(0) e^{-i P \cdot x} \end{aligned} \end{equation}
这里 $P^\mu = (H,\mathbf P)$.

   现在来说一下式 9 的物理解释.$e^{-i p^0 t}$ 是正频模.$e^{+i p^0 t}$ 是负频模.正频模的系数是湮灭算符,能够消灭一个粒子.负频模的系数是产生算符,能够产生一个粒子.

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