多体薛定谔方程

             

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预备知识 多维空间中的量子力学

   量子力学假设 $N$ 个粒子的波函数记为

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _N, t) \end{equation}
如果每个粒子都延直线运动,那么某时刻波函数就是 $N$ 维的,若每个粒子在三维空间运动,那么就是 $3N$ 维的.

   含时薛定谔方程变为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \sum_i \boldsymbol{\nabla}^2 _i \Psi + V( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{r}} _N) \Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi \end{equation}

例 1 两个粒子的库仑作用

   考虑一维波函数,$\Psi_1(x,t)$ 表示一个从左向右移动的波包,$\Psi_2(x,t)$ 表示从右到左移动的波包,那么把它们叠加起来之后的波函数 $\Psi_1 + \Psi_2$ 代表什么?是两个粒子的碰撞吗?不是的,是同一个粒子和自身的干涉.又如电子双缝干涉实验中,两个缝隙发出的波或波包互相干涉,是指两个不同的电子的干涉吗?不是的,是同一个电子.双缝干涉实验强调一次只发射一个电子.既然是同一个电子,那么即使它的波函数由两个波包组成,也不会存在库仑力,只能互相发生干涉而已,不存在一个波包把另一个推开的可能性.

   如果要考虑两个直线运动的带电粒子(假设质量相同)在库仑力作用下发生速度的变化,就要考虑双粒子波函数 $\Psi(x_1, x_2, t)$.注意这是一个二维波函数,而不是两个一维波函数相加.相互作用(库仑力)体现在薛定谔方程的势能项中

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 \Psi + \left(V(x_1) + V(x_2) + \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 \left\lvert x_2 - x_1 \right\rvert } \right) \Psi = \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \Psi \end{equation}
例如考虑一维简谐振子势能中的两个粒子,那么 $V(x_i) = ax_i^2/2$,如果除了相互作用没有外部势能,那么 $V(x_i) = 0$.

   现在考虑两个直线运动的可区分(非全同)带电粒子($V(x_i) = 0$)以相同的初速度靠近并在库仑力作用下反弹,可以假设初始的二维波函数 $\Psi(x_1, x_2, t)$ 是一个二维波包,波包中心延着轨迹 $x_2 = -x_1$ 从左上方向坐标原点方向几乎匀速地运动.注意这并不是两个一维波包的运动,而是一个二维波包的运动.

   从另一个角度来说,这个问题完全等效于二维平面 $x$-$y$ 上单个粒子的波包在二维势能 $V(x,y) = q_1q_2/ \left\lvert y-x \right\rvert $ 中的运动.画出该势能的等势线会发现它们是和初始波包的运动轨迹 $y-x$ 垂直的,且越靠近原点势能越大,也就是初始波包一直在走上坡路.那么初始波包在该势能的作用下会减速,并延着原来的路径反弹.这就体现了第一个粒子 $x_1$ 先从负无穷靠近 $0$ 再反弹回负无穷,第二个粒子 $x_2$ 则从正无穷靠近 $0$ 再反弹回正无穷,也就是两个粒子在相遇以前就已经被库仑力反弹了.

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