多体薛定谔方程

例 1　两个粒子的库仑作用

　　 考虑一维波函数，${\mathrm{\Psi }}_1(x,t)$ 表示一个从左向右移动的波包，${\mathrm{\Psi }}_2(x,t)$ 表示从右到左移动的波包，那么把它们叠加起来之后的波函数 ${\mathrm{\Psi }}_1+{\mathrm{\Psi }}_2$ 代表什么？是两个粒子的碰撞吗？不是的，是同一个粒子和自身的干涉。又如电子双缝干涉实验中，两个缝隙发出的波或波包互相干涉，是指两个不同的电子的干涉吗？不是的，是同一个电子。双缝干涉实验强调一次只发射一个电子。既然是同一个电子，那么即使它的波函数由两个波包组成，也不会存在库仑力，只能互相发生干涉而已，不存在一个波包把另一个推开的可能性。

　　 如果要考虑两个直线运动的带电粒子（假设质量相同）在库仑力作用下发生速度的变化，就要考虑双粒子波函数 $\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,t)$。注意这是一个二维波函数，而不是两个一维波函数相加。相互作用（库仑力）体现在薛定谔方程的势能项中

　　 现在考虑两个直线运动的可区分（非全同）带电粒子（$V(x_i)=0$）以相同的初速度靠近并在库仑力作用下反弹，可以假设初始的二维波函数 $\mathrm{\Psi }(x_1,x_2,t)$ 是一个二维波包，波包中心延着轨迹 $x_2=-x_1$ 从左上方向坐标原点方向几乎匀速地运动。注意这并不是两个一维波包的运动，而是一个二维波包的运动。

　　 从另一个角度来说，这个问题完全等效于二维平面 $x$-$y$ 上单个粒子的波包在二维势能 $V(x,y)=q_1{q}_2/|y-x|$ 中的运动。画出该势能的等势线会发现它们是和初始波包的运动轨迹 $y-x$ 垂直的，且越靠近原点势能越大，也就是初始波包一直在走上坡路。那么初始波包在该势能的作用下会减速，并延着原来的路径反弹。这就体现了第一个粒子 $x_1$ 先从负无穷靠近 $0$ 再反弹回负无穷，第二个粒子 $x_2$ 则从正无穷靠近 $0$ 再反弹回正无穷，也就是两个粒子在相遇以前就已经被库仑力反弹了。