幂的定义

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 极限存在的判据、柯西序列

   在中学数学中,我们已经学习过正实数的幂的定义.按照此定义,给定实数$x > 0$ 和任意实数 $\alpha,\beta$, 幂 $x^\alpha$ 满足如下性质:

   特别地,对于正整数 $n$, $x^n$ 就是将 $x$ 自乘 $n$ 次,$x^{-n}$ 就是 $1/x^n$, 而 $x^{1/n}$ 就是 $x$ 的 $n$ 次算术根.

   一个自然的问题是,满足以上六条性质的运算是否唯一?答案是肯定的.严格的实数理论给出了一个构造幂的方法.

1. 有理数次幂的构造

   首先,正实数的整数次幂可以通过乘法来直接定义.它当然满足以上六个要求.现在要由此出发来构造正实数的有理数次幂.

   给定正整数 $n$. 根据实数理论,我们可以严格地构造出任意正实数 $x$ 的 $n$ 次算术根,也就是满足 $y^n=x$ 的唯一一个正实数 $y$. 由于正整数次幂的保序性质,可见算术根若存在则必然只有唯一一个.至于实际的构造,则可以确定一个戴德金分割如下:分割的下类 $L$ 包含所有非正的有理数,以及满足 $l^n < x$ 的正有理数 $l$; 分割的上类 $R$ 包含所有满足 $r^n\geq x$ 的正有理数.容易验证它满足戴德金分割的定义,从而它确定了一个实数 $y$.

   为了说明 $y^n=x$, 只需要注意到,实数 $y$ 是下类 $L_y$ 的上确界,同时也是上类 $R_y$ 的下确界.所以给定 $\varepsilon > 0$, 都存在 $l\in L_y$ 和 $r\in R_y$ 使得 \[ y-\varepsilon<l<y,\quad y\leq r<y+\varepsilon. \] 于是 \[ r^n-l^n<(r-l)(r^{n-1}+...+l^{n-1}) <2n(y+\varepsilon)^{n-1}\varepsilon. \] 但另一方面当然有 $l^n < y^n\leq r^n$ 和 $l^n < x\leq r^n$, 从而 $y^n$ 同 $x$ 的差可以小于任意预先指定的正数,于是只能有 $y^n=x$.

   由此出发,就可以构造正实数的有理数次幂了.给定 $x > 0$, 正整数 $n$ 和任意整数 $m$, 定义 $x^{1/n}$ 为 $x$ 的 $n$ 次算术根,而 $x^{m/n}=(x^{1/n})^m$. 由此得到的方幂满足开头所提到的六条性质.

习题 1 幂的连续性

   给定实数 $x > 0$. 试证明:如果 $r_k$ 是收敛到零的有理数序列,那么序列 $x^{r_k}$ 的极限是 1. 提示:利用伯努利不等式的如下变形:如果 $x > 1$, $N$ 为正整数,则 \[ 0<x^{1/N}-1<\frac{x-1}{N}. \]

2. 实数次幂的构造

   有了有理数次幂作为基础,就可以根据六条性质中的最后两条(保序性)来构造任意实数次幂了.

   给定 $x > 0$ 和任意实数 $\alpha$. 记实数 $\alpha$ 的戴德金分割为 $L_\alpha|R_\alpha$. 于是可得到两个数集 \[ A={x^l:l\in L_\alpha},\quad B={x^r:r\in R_\alpha}. \] 由于前面已经定义了有理数次幂,所以这两个数集都是良好定义的,而且根据保序性质也可看出 $A$ 中的元素总是小于 $B$ 中的元素.根据实数的完备性,这两个数集之间存在着一个实数.另一方面,由于上类和下类之间的元素可以任意接近,所以根据习题 1., 可见数集 $A$ 和 $B$ 之间只能有一个实数.我们定义这唯一的一个实数为 $x^\alpha$.

   从这个定义出发,可以验证幂的一切性质.例如,设实数 $\alpha,\beta$ 的戴德金分割分别为 $L_\alpha|R_\alpha$ 和 $L_\beta|R_\beta$, 那么实数 $\alpha+\beta$ 的戴德金分割就是 $(L_\alpha+L_\beta)|(R_\alpha+R_\beta)$. 根据有理数次幂的性质就能够得到 \[ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha\cdot x^\beta. \] 幂的其余运算性质均可由类似的方法导出.

   幂还具有如下的连续性:

定理 1 幂的连续性

  • 设正数序列 $x_k$ 收敛到正实数 $x$. 那么 \[ \lim_{k\to\infty}x_k^\alpha=x^\alpha. \]
  • 设实数序列 $\alpha_k$ 收敛到 $\alpha$. 那么 \[ \lim_{k\to\infty}x^{\alpha_k}=x^\alpha. \]

习题 2 

   证明上述定理.提示:对于第一条,试说明对于 $y > x > 1$, 成立 \[ 0<y^\alpha-x^\alpha<x^\alpha\cdot\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{[\alpha]+1}-1\right); \] 这样一来,当 $y$ 接近 $x$ 时,$y^\alpha$ 便接近 $x^\alpha$. 对于第二条,参考习题 1.


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