幂函数（数学分析）

贡献者： DTSIo

　　 在中学数学中，我们已经学习过正实数的幂的定义。按照此定义，给定实数$x>0$ 和任意实数 $\alpha ,\beta$, 幂 $x^{\alpha }$ 满足如下性质：

• 对于任意的 $x>0$, 均有 $x^0=1$.
• $x^{\alpha +\beta }=x^{\alpha }\cdot x^{\beta }$.
• $(x^{\alpha }{)}^{\beta }=x^{\alpha \beta }$.
• 给定 $x_1,x_2>0$, 那么 $x_1^{\alpha }\cdot x_2^{\alpha }=(x_1{x}_2{)}^{\alpha }$.
• 如果 $x>1$, $\alpha <\beta$, 那么 $x^{\alpha }<x^{\beta }$.
• 如果 $0<x_1<x_2$, $\alpha >0$, 那么 $x_1^{\alpha }<x_2^{\alpha }$.

　　 特别地，对于正整数 $n$, $x^n$ 就是将 $x$ 自乘 $n$ 次，$x^{-n}$ 就是 $1/x^n$, 而 $x^{1/n}$ 就是 $x$ 的 $n$ 次算术根。

　　 一个自然的问题是，满足以上六条性质的运算是否唯一？答案是肯定的。严格的实数理论给出了一个构造幂的方法。

1. 有理数次幂的构造

　　 首先，正实数的整数次幂可以通过乘法来直接定义。它当然满足以上六个要求。现在要由此出发来构造正实数的有理数次幂。

　　 给定正整数 $n$. 根据实数理论，我们可以严格地构造出任意正实数 $x$ 的 $n$ 次算术根，也就是满足 $y^n=x$ 的唯一一个正实数 $y$. 由于正整数次幂的保序性质，可见算术根若存在则必然只有唯一一个。至于实际的构造，则可以确定一个戴德金分割如下：分割的下类 $L$ 包含所有非正的有理数，以及满足 $l^n<x$ 的正有理数 $l$; 分割的上类 $R$ 包含所有满足 $r^n\ge x$ 的正有理数。容易验证它满足戴德金分割的定义，从而它确定了一个实数 $y$.

　　 为了说明 $y^n=x$, 只需要注意到，实数 $y$ 是下类 $L_y$ 的上确界，同时也是上类 $R_y$ 的下确界。所以给定 $\epsilon >0$, 都存在 $l\in L_y$ 和 $r\in R_y$ 使得 $$y-\epsilon <l<y,y\le r<y+\epsilon .$$ 于是 $$r^n-l^n<(r-l)(r^{n-1}+...+l^{n-1})<2n(y+\epsilon {)}^{n-1}\epsilon .$$ 但另一方面当然有 $l^n<y^n\le r^n$ 和 $l^n<x\le r^n$, 从而 $y^n$ 同 $x$ 的差可以小于任意预先指定的正数，于是只能有 $y^n=x$.

　　 由此出发，就可以构造正实数的有理数次幂了。给定 $x>0$, 正整数 $n$ 和任意整数 $m$, 定义 $x^{1/n}$ 为 $x$ 的 $n$ 次算术根，而 $x^{m/n}=(x^{1/n}{)}^m$. 由此得到的方幂满足开头所提到的六条性质。

2. 实数次幂的构造

　　 有了有理数次幂作为基础，就可以根据六条性质中的最后两条（保序性）来构造任意实数次幂了。

　　 给定 $x>0$ 和任意实数 $\alpha$. 记实数 $\alpha$ 的戴德金分割为 $L_{\alpha }|R_{\alpha }$. 于是可得到两个数集 $$A=\{x^l:l\in L_{\alpha }\},B=\{x^r:r\in R_{\alpha }\}.$$ 由于前面已经定义了有理数次幂，所以这两个数集都是良好定义的，而且根据保序性质也可看出 $A$ 中的元素总是小于 $B$ 中的元素。根据实数的完备性，这两个数集之间存在着一个实数。另一方面，由于上类和下类之间的元素可以任意接近，所以根据习题 1., 可见数集 $A$ 和 $B$ 之间只能有一个实数。我们定义这唯一的一个实数为 $x^{\alpha }$.

　　 从这个定义出发，可以验证幂的一切性质。例如，设实数 $\alpha ,\beta$ 的戴德金分割分别为 $L_{\alpha }|R_{\alpha }$ 和 $L_{\beta }|R_{\beta }$, 那么实数 $\alpha +\beta$ 的戴德金分割就是 $(L_{\alpha }+L_{\beta })|(R_{\alpha }+R_{\beta })$. 根据有理数次幂的性质就能够得到 $$x^{\alpha +\beta }=x^{\alpha }\cdot x^{\beta }.$$ 幂的其余运算性质均可由类似的方法导出。

　　 幂还具有如下的连续性：