粒子产生
贡献者： zhousiyi; addis
考虑克莱因-戈登场与一个外部的，经典的源 $j(x)$.考虑场方程
\begin{equation}
(\partial^2+m^2)\phi(x) = j(x)~,
\end{equation}
$j(x)$ 是源。这个方程是由拉式量推出来的。拉式量为
\begin{equation}
\mathcal L = \frac{1}{2} (\partial_\mu\phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 + j(x) \phi(x)~,
\end{equation}
这里源 $j(x)$ 只持续一段时间。
\begin{equation}
\phi_{0}(x)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}} e^{-i p \cdot x}+a_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{i p \cdot x}\right)~.
\end{equation}
在有源的情况下，
式 1 的解为：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi(x) & =\phi_{0}(x)+i \int d^{4} y D_{R}(x-y) j(y) \\
& =\phi_{0}(x)+i \int d^{4} y \int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2 E_{\mathbf{p}}} \theta\left(x^{0}-y^{0}\right) \\
& \times\left(e^{-i p \cdot(x-y)}-e^{i p \cdot(x-y)}\right) j(y)~.
\end{aligned}
\end{equation}
这时候 $\phi(x)$ 只与 $j$ 的傅立叶变换有关。
\begin{equation}
\tilde j (p) = \int d^4 y e^{ip \cdot y} j(y)~.
\end{equation}
整理一下可得
\begin{equation}
\phi(x)=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}\left\{\left(a_{\mathbf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \tilde{j}(p)\right) e^{-i p \cdot x}+\text { h.c. }\right\}~.
\end{equation}
哈密顿量为
\begin{equation}
H=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} E_{\mathbf{p}}\left(a_{\mathbf{p}}^{\dagger}-\frac{i}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \tilde{\jmath}^{*}(p)\right)\left(a_{\mathbf{p}}+\frac{i}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \tilde{\jmath}(p)\right)~.
\end{equation}
源关闭之后，系统的能量为
\begin{equation}
\langle 0|H| 0\rangle=\int \frac{d^{3} p}{(2 \pi)^{3}} \frac{1}{2}|\tilde{\jmath}(p)|^{2}~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。