狄拉克场的量子化

             

贡献者: zhousiyi; addis

   现在我们来构造自由狄拉克场的量子理论.我们从如下的拉式量出发

\begin{equation} \mathcal L = \bar \psi (i \partial\!\!\!/ - m)\psi = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi~, \end{equation}
$\psi$ 的共轭动量是 $i\psi^\dagger$,因此哈密顿量为
\begin{equation} H = \int d^3 x \bar \psi (-i \boldsymbol \gamma \cdot \boldsymbol \nabla + m)\psi = \int d^3 x \psi^\dagger [-i\gamma^0\boldsymbol\gamma \cdot \boldsymbol\nabla + \gamma^0]\psi ~. \end{equation}
定义 $\alpha = \gamma^0 \boldsymbol\gamma$, $\beta = \gamma^0$, 你们可以认出括号内的量就是单粒子量子力学的狄拉克哈密顿量
\begin{equation} h_D = - i \boldsymbol\alpha \cdot \boldsymbol \nabla + m \beta ~. \end{equation}

1. 错误的量子化狄拉克场的方法

   我们首先尝试下面的量子化狄拉克场的办法

\begin{equation} [\psi_a(\mathbf x),\psi_b^\dagger(\mathbf y)] = \delta^{(3)}(\mathbf x - \mathbf y)\delta_{ab}~. {\rm (equal times)} \end{equation}
\begin{equation} [i\gamma^0\partial_0+i\boldsymbol \gamma \cdot \nabla - m ] u^s (p) e^{-ip\cdot x} = 0~. \end{equation}
\begin{equation} \psi(\mathbf x)= \int \frac{d^3 x}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} e^{i \mathbf p \cdot \mathbf x} \sum_{s = 1,2} (a_{\mathbf p}^s u^s(\mathbf p)+ b_{-\mathbf p}^s v^s(-\mathbf p)) \end{equation}


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