贡献者： _Eden_; addis
现在我们来考察多体系统量子力学的单体算符。具体而言，我们希望考察多体系统中单粒子相关的物理量，由于是可观测的物理量，我们研究的单体算符是 Fock 空间 $\mathcal{F}$ 上的幺正算符。
回忆一下 Fock 空间的定义式 2 ，我们知道它可以根据粒子数不同划分为多个子 Hilbert 空间的直和：
\begin{equation}
\mathcal{F}=\mathcal{H}_1\oplus \mathcal{H}_2\oplus \cdots~
\end{equation}
根据我们对内积的定义，对于两个态矢量 $v_i\in \mathcal{H}_i, v_j\in \mathcal{H}_j$，当 $i\neq j$ 时 $v_i,v_j$ 的内积一定是 $0$。而我们又希望单体算符 $A^{(1)}$ 所对应的物理量由 $ \left\langle v \right\rvert A^{(1)} \left\lvert v \right\rangle $ 给出，这实际上告诉我们 $A^{(1)}$ 作用于 $v_i\in \mathcal{H}_i$ 后所得到的态矢量 $A^{(1)} \left\lvert v_i \right\rangle $ 也一定属于 $\mathcal{H}_i$。因此当我们限制在每个子空间 $\mathcal{H}_i$ 上以后，$A^{(1)}$ 仍然是幺正算符。这不仅对单体算符成立，对于两体算符和 $n$ 体算符这都是成立的。
在我们考察单体算符的形式定义之前，我们先来看一个最简单的例子：粒子数算符。
1. 粒子数算符
设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基是 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$，基于这一组基底，可以根据定义式 10 与式 12 构造多体系统的产生湮灭算符：
\begin{equation}
a_1,a^\dagger_1,a_2,a^\dagger_2,\cdots~
\end{equation}
那么粒子数算符被定义为
\begin{equation}
\hat N=\sum_i a_i^\dagger a_i~.
\end{equation}
根据产生湮灭算符之间的对易关系，我们很容易能证明，对于玻色子系统：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&[\hat N,a_i^\dagger]_-=a_i^\dagger,\quad [\hat N,a_i]_-=-a_i~,\\
&\hat N (a_1^\dagger)^{n_1} (a_2^\dagger)^{n_2}\cdots \left\lvert 0 \right\rangle = (n_1+n_2+\cdots) (a_1^\dagger)^{n_1} (a_2^\dagger)^{n_2}\cdots \left\lvert 0 \right\rangle ~.
\end{aligned}
\end{equation}
而对于费米子系统
1：
\begin{equation}
\begin{aligned}
&[\hat N,a_i^\dagger]_+=a_i^\dagger,\quad [\hat N,a_i]_+=a_i~,\\
&\hat N a_{i_1}^\dagger a_{i_2}^\dagger \cdots a_{i_n}^\dagger \left\lvert 0 \right\rangle = n a_{i_1}^\dagger a_{i_2}^\dagger \cdots a_{i_n}^\dagger \left\lvert 0 \right\rangle ,\quad i_j\neq i_k(j\neq k)~,
\end{aligned}
\end{equation}
这也就意味着对于 $v_n\in \mathcal{H_n}$，$\hat N v_n=n v_n$。所以 Fock 空间的直和分解
式 1 实际上是将整个 Hilbert 空间按照粒子数算符的本征值划分为了不同的子空间。
如果我们将单粒子 Hilbert 空间的基底 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$ 切换到坐标表象下的基底 $ \left\lvert x \right\rangle ,\cdots$，那么产生湮灭算符与原先的产生湮灭算符之间有式 21 的等式关系。此时产生湮灭算符之间的对易关系为 $[a_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} },a_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }^\dagger]_{-\xi}=\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，而粒子数算符为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat N=\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } a_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
注意相比于
式 3 ，求和变为了空间积分，这是符合我们的预期的。类似地，如果切换到动量表象下，我们有 $[a_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} },a_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }]_{-\xi}= (2\pi)^3 \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$，而粒子数算符为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat N=\int \frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} a^\dagger_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } a_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }~,
\end{aligned}
\end{equation}
注意积分测度的变化。
2. 单体算符的形式定义
当我们构造单粒子 Hilbert 空间上的物理量时，我们只需要用到 $\hat x,\ \hat p=-i\hbar \partial_x$ 这两个算符（显然它们是幺正的），利用它们可以表达哈密顿量、角动量等等，假设作用于单粒子 Hilbert 空间上的单体算符的形式为 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)$（如果是三维空间，那括号内就包含三个反向上的坐标和动量算符）。
假设单粒子 Hilbert 空间的一组正交完备基为 $ \left\lvert 1 \right\rangle , \left\lvert 2 \right\rangle ,\cdots$。此时单粒子 Hilbert 空间上单体算符可以表达为
\begin{equation}
A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta} \left\lvert \alpha \right\rangle \left\langle \beta \right\rvert ~,
\end{equation}
其中 $A_{\alpha\beta}$ 为 $A^{(1)}$ 算符的矩阵表示。现在考察多体系统，多粒子态 $ \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle $ 不再是 $N$ 个单粒子态的简单的张量积，因为交换对称性，我们需要仔细考虑。由于 Fock 空间可以表达为一系列多粒子态 $ \left\lvert ijk\cdots \right\rangle $ 的直和，我们只需要去考量算符 $\hat A^{(1)}$ 作用在 $ \left\lvert \psi_1 \psi_2 \cdots\psi_N \right\rangle $ 上的结果即可。我们期待单体算符 $\hat A^{(1)}$ 能够被写为
\begin{equation}
\hat A^{(1)}=\sum_{i} A^{(1)}(\hat x_i,\hat p_i)~,
\end{equation}
其中算符 $A^{(1)}(x_i,p_i)$ 仅仅作用于多粒子态的 $\psi_i$ 成分上。具体而言：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\langle x_1,\cdots,x_N \right\rvert \hat A^{(1)} \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle &=\sum_{i=1}^N A^{(1)}(\hat x_i,-i\hbar\hat\partial_{x_i})\sum_{P} \xi^P \psi_1(x_{p_1})\psi_2(x_{p_2})\cdots\\
&=\sum_{P}\xi^P \alpha(x_{p_1})A_{\alpha\beta}^{(1)} \left\langle \beta \middle| \psi_1 \right\rangle \psi_2(x_{p_2})\psi_3(x_{p_3})\cdots\\
&\quad +\sum_P\xi^P \psi_1(x_{p_1})\alpha(x_{p_2})A_{\alpha\beta}^{(2)} \left\langle \beta \middle| \psi_2 \right\rangle \psi_3(x_{p_3})\cdots\\
&\quad +\cdots \\
&=\sum_{\alpha\beta} A_{\alpha\beta}^{(1)}\left( \left\langle \beta \middle| \psi_1 \right\rangle \left\langle x_1,\cdots,x_N \middle| \alpha,\psi_2,\cdots,\psi_N \right\rangle \right.\\
&\left.\quad \quad\quad+ \left\langle \beta \middle| \psi_2 \right\rangle \left\langle x_1,\cdots,x_N \middle| \psi_1,\alpha,\cdots,\psi_N \right\rangle +\cdots\right)\\
&= \left\langle x_1,\cdots,x_N \right\rvert \sum_{\alpha\beta} A_{\alpha\beta}^{(1)}a^\dagger(\alpha)a(\beta)
\left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle ~,
\end{aligned}
\end{equation}
最后一行利用了
式 14 。上式对任意的 $x_1,\cdots,x_N,\psi_1,\cdots,\psi_N$ 都成立，这也就意味着单体算符 $A^{(1)}$ 总是可以表达为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat A^{(1)}=\sum_{\alpha\beta}A_{\alpha\beta}^{(1)}a^\dagger(\alpha)a(\beta)~,
\end{aligned}
\end{equation}
这就是单体算符的形式定义。
3. 动量算符、能量算符和粒子数密度算符
下面来举一些单体算符的例子。
例 1 粒子数算符
对于粒子数算符 $\hat N$，$A^{(1)}(\hat x,\hat p)=1$，因此作用于 $ \left\lvert \psi_1,\cdots,\psi_N \right\rangle $ 的本征值为 $\sum_{i=1}^N 1=N$。
此时 $A_{\alpha\beta}^{(1)}=\delta_{\alpha\beta}$，根据式 11 可以得到
\begin{equation}
\hat N=\sum_{\alpha} a^\dagger(\alpha) a(\alpha)~.
\end{equation}
例 2 动量算符
对于动量算符 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }$，我们期待 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }$。那么在动量表象下 $A_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol{\mathbf{q}} }^{(q)}=(2\pi)^3 \boldsymbol{\mathbf{q}} \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )$，因此容易证明
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} } }{(2\pi)^3} (2\pi)^3 \boldsymbol{\mathbf{p}} \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{p}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} )a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{q}} )=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \boldsymbol{\mathbf{p}} a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{p}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 3 能量算符
对于能量算符 $\hat H$，我们期待 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\frac{1}{2m}\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2$。同样地在动量表象下，我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\hat{H}=\int\frac{ \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } }{(2\pi)^3} \frac{| \boldsymbol{\mathbf{p}} |^2}{2m} a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{p}} )a( \boldsymbol{\mathbf{p}} )~.
\end{aligned}
\end{equation}
例 4 粒子数密度算符
如果我们希望考察多体系统在某个给定坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的粒子数密度 $\rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }$，那么我们可以令 $A^{(1)}(\hat x,\hat p)=\delta^3(\hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }- \boldsymbol{\mathbf{y}} )$，在这样的定义下，容易得到 $\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{y}} } A^{(1)}_{\ \boldsymbol{\mathbf{y}} }(\hat x,\hat p)=1$，这正好对应于粒子数算符：$\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{y}} } \rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }=\hat N$，这是符合我们的期待的。因此在这样的定义下
\begin{equation}
\rho_{ \boldsymbol{\mathbf{y}} }=a^\dagger( \boldsymbol{\mathbf{y}} )a( \boldsymbol{\mathbf{y}} )~.
\end{equation}
1. ^ 也就是说产生湮灭算符之间满足 $[a_i,a_j^\dagger]_+=\delta_{ij}$ 的反对易关系。$[\cdot,\cdot]_+$ 符号常常也写为 $\{\cdot,\cdot\}$。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。