贡献者： certain_pineapple
1. Hubbard 模型的哈密顿量
在本节中，通过对电子多体系统之间的相互作用进行近似计算，仅考虑其中的库伦相互作用来得到 Hubbard 模型的哈密顿量。
选择原子轨道基 $|j\rangle =c_j^\dagger |0\rangle$，写出系统的哈密顿量：
\begin{equation}
H=\sum\limits_{i,j,\sigma}\langle i |H_0| j \rangle c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma}+\sum\limits_{l,m,k,n,\sigma,\sigma'}\langle l,m|V|k,n\rangle c_{l,\sigma}^\dagger c_{m,\sigma'}^\dagger c_{n,\sigma'}c_{k,\sigma}~.
\end{equation}
上式中的 $H_0$ 代表动能部分的哈密顿量，其对应的 $\sum\limits_{i,j,\sigma}\langle i |H_0| j \rangle c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma}$ 部分为跃迁项。
上式中后一部分代表相互作用项，由于库仑相互作用并不影响自旋，所以电子被相互作用散射后自旋不变，这一点在哈密顿量中的体现则为发生散射后原本自旋为 $\sigma$ 的粒子自旋还为 $\sigma$，自旋为 $
\sigma'$ 的粒子散射后自旋还为 $\sigma'$。也就是说上式中后一项中 $l$ 和 $k$ 对应的是同一粒子的两个态，而 $m$ 和 $n$ 对应的是同一个粒子的两个态。
下面分别对哈密顿量的两项进行近似计算。
跃迁项
作为近似，我们仅考虑最近邻跃迁：
\begin{equation}
\langle i|H_0|j \rangle=\left\{
\begin{array}{lc}
~~\varepsilon~,~~~~~ i=j, \\
~-t~,~i,j\text{最近邻，} \\
~~0~,~~~~\text{其他情况。}
\end{array}\right.~
\end{equation}
这样便有：
\begin{equation}
\sum\limits_{i,j,\sigma}\langle i|H_0|j \rangle c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma}=\sum\limits_{i,\sigma}\varepsilon c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}-\sum\limits_{i,\Delta,\sigma}t\left(c_{i+\Delta,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}+h.c.\right)~.
\end{equation}
相互作用项
考虑库仑相互作用是按照 $r^{-1}$ 衰减的，且:
$$\langle l,m|V|k,n\rangle=\iint \phi_l^*(r)\phi_m^*(r')\frac{e^2}{ \left\lvert r-r' \right\rvert }\phi_n(r')\phi_k(r)drdr'~.$$
那么显而易见的是当 $l=m=n=k$ 时积分值最大。那么仅考虑此最大值，忽略其他情况。计其积分值为 $\frac{U}{2}$。那么：
\begin{equation}
\sum\limits_{l,m,n,k,\sigma,\sigma'}\langle l,m|V|k,n\rangle c_{l,\sigma}^\dagger c_{m,\sigma'}^\dagger c_{n,\sigma'}c_{k,\sigma'}=\frac{U}{2}\sum\limits_{l,\sigma,\sigma'}c_{l,\sigma}^\dagger c_{l,\sigma'}^\dagger c_{l,\sigma'}c_{l,\sigma'}~.
\end{equation}
展开自旋的求和可得：
\begin{equation}
\frac{U}{2}\sum\limits_l \left(c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\uparrow}c_{l,\uparrow}+c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\downarrow}c_{l,\uparrow}+c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\uparrow}c_{l,\downarrow}+c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\downarrow}c_{l,\downarrow}\right)~.
\end{equation}
由于电子是费米子，而第一项与第四项中都出现了两个湮灭算符，所以其都为 0，那么我们只需要考虑第二项和第三项，考虑反对易关系 $\left\{c_i^\dagger,c_j\right\}=\delta_{ij}$，$\left\{c_i,c_j\right\}=0$（以 $\bar{\sigma}$ 表示与 $\sigma$ 相反的自旋）:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum\limits_{l,\sigma,\sigma'}c_{l,\sigma}^\dagger c_{l,\sigma'}^\dagger c_{l,\sigma'}c_{l,\sigma'}&=\frac{U}{2}\sum\limits_l \left(c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\downarrow}c_{l,\uparrow}+c_{l,\downarrow}^\dagger c_{l,\uparrow}^\dagger c_{l,\uparrow}c_{l,\downarrow}\right) \\
&=\frac{U}{2}\sum\limits_{l,\sigma}c_{l,\sigma}^\dagger c_{l,\bar\sigma}^\dagger c_{l,\bar\sigma} c_{l,\sigma} \\
&=\frac{U}{2}\sum\limits_{l,\sigma}c_{l,\sigma}^\dagger c_{l,\sigma} c_{l,\bar\sigma}^\dagger c_{l,\bar\sigma} \\
&=\frac{U}{2}\sum\limits_{l,\sigma}\hat{n}_{l,\sigma} \hat{n}_{l,\bar{\sigma}} \\
&=U\sum\limits_{l}\hat{n}_{l,\uparrow}\hat{n}_{l,\downarrow}
~.
\end{aligned}
\end{equation}
经过两次近似，得到 Hubbard 模型的哈密顿量为：
\begin{equation}
H=\sum\limits_{i,\sigma}\varepsilon c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}-\sum\limits_{i,\Delta,\sigma}t\left(c_{i+\Delta,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma}+h.c.\right)+U\sum\limits_{l}\hat{n}_{l,\uparrow}\hat{n}_{l,\downarrow}~.
\end{equation}
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