产生和湮灭

贡献者：叶月2_

预备知识　标量场的量子化

本文处于草稿阶段。

　　旧称量子场论的工作是 “二次量子化”，但这种描述是不准确的。不仅仅是因为两套体系几乎是同时发展的，更是因为在概念上，量子场论仅仅是对经典场论中的场进行一次量子化，使得场不再是描述幅值随时空变换的函数，而是能描述粒子产生和湮灭的算符。为了算符化，我们需要利用量子力学中的产生和湮灭算符。这是量子场论中的基本概念，也是构筑多粒子体系不可或缺的砖瓦。

1. 定义

　　与谐振子问题一样，用 $| 0 ⟩$ 来定义能级最低，可视作没有粒子的真空态。用 $a, a^{†}$ 来湮灭和产生粒子，而不再是具有使谐振子能级爬升或者降低的意义。即

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} a_{p} | 0 ⟩ & = 0 \\ a_{p}^{†} | 0 ⟩ & = | p ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

也就是说，在场论里，增加或者湮灭粒子对应于谐振子里的能级爬升或者降低。粒子数增加或者减少对应能量量子数的增加或者减少。在扩展理论的过程中，我们需要格外留心原本理论中不变量的适用条件。在量子力学里，为了符合物理现实和数学理论，可观测量，比如力学算符本征值或者传播振幅是不随 “参考系” 而改变的，这里的参考系是不同表象或者绘景。然而量子场论里往往需要研究的是洛伦兹不变量，原本的

⟨ q | p ⟩

并不是洛伦兹不变量。

　　可以证明，洛伦兹不变测度 $\int d^{4} p = \int \frac{d^{3} p}{2 E_{p}}$ ，因而 $2 E_{p} δ^{3} (p - q)$ 才是洛伦兹不变量。于是在场论里，不变"传播振幅"可修改为

\begin{matrix} (2) & ⟨ q | p ⟩ = (2 π)^{3} 2 E_{q} δ^{3} (q - p), \end{matrix}

其中

| p ⟩ = \sqrt{2 E_{p}} | p ⟩

。

2. 因果律与对易关系

　　在没有产生和湮灭算符之前，场方程的通解是函数的线性叠加。比如众所周知的 $K - G$ 方程，其齐次形式为 $(\partial_{μ} \partial^{μ} + m^{2}) ϕ = 0,$ 该方程并不排斥负能解，所以我们可以把通解拆成两部分， $ϕ (x) = \sum_{p} C (p) e^{i p x} + \sum_{- p} C (- p) e^{- i p x},$ （注意，上式出现的矢量内积为四维形式。）于是，在引入产生和湮灭算符后，我们可以把上式中的系数替换为算符，并把线性叠加修改为连续动量谱下的积分，积分测度需是洛伦兹不变。所以标量场量子化后为，

\begin{matrix} (3) & ϕ (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} a_{p} e^{- i p x} + a_{p}^{†} e^{i p x}, \end{matrix}

作用在态矢上，第一项表示湮灭正能粒子，第二项表示产生负能粒子（即反粒子），常系数是归一化系数。对于复

K - G

场，则为

\begin{matrix} (4) & \hat{ϕ} (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} a_{p} e^{- i p x} + b_{p}^{†} e^{i p x}, \end{matrix}

　　在量子化后，我们还可以得到这么一个东西： $[\hat{ϕ} (x), {\hat{ϕ}}^{†} (y)]$ ，虽然暂时还不能得到具体值，但在直觉上，它需要满足类空下对易子为 0——为了满足狭义相对论的因果律要求，类空下的算符必然是独立的，也就是说对类空的两个时间点进行测量，结果不受彼此影响，它们之间没有超光速的场传播。（虽然这个要求对场算符的限制不是很直观，但由于多粒子体系下的算符可以用场算符表示，我们可以证明，对于标量场，任意力学量算符类空下对易子为 0，等价于对场算符的对易子要求）

　　现在我们来推导该对易子：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} \frac{d^{3} p^{'}}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p^{'}}}} (e^{i p y} e^{- i p^{'} x} [a_{p^{'}}, a_{p}^{†}] + e^{- i p y} e^{i p^{'} x} [b_{p^{'}}^{†}, b_{p}]) \\ = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{2 E_{p}} (e^{- i p (x - y)} - e^{i p (x - y)}), \end{aligned} \end{matrix}

可以看到，该对易子确实是洛伦兹不变的。
当两个事件间隔是类空时，对易子为 0.我们可以取 $x_{0} = y_{0} = 0$ 来保证类空。由于 $p$ 取所有值，所以第二项中指数的负号不影响积分结果。总积分结果为 0 且洛伦兹不变。
从计算过程中，我们可以发现， $[a_{p^{'}}, a_{p}^{†}]$ =， $[b_{p^{'}}, b_{p}^{†}] = (2 π)^{3} δ (p - q)$ 保证了最后结果在类空间隔下为 $0$ 。量子力学中的全同性原理导出了玻色子的对易关系，本质上来源于因果律的要求。对于旋量场，我们则采取费米子对易关系进行量子化。

3. Fock 空间

　　在量子力学里，我们对单粒子希尔伯特空间已经相当熟悉了。现在需要扩展到多粒子体系，最好能描述数量未知的多粒子系统。

　　假设我们现在有 n 粒子的玻色子系统。如果是 2 粒子，我们可以用对称化后的二粒子基矢的线性组合~ $(| k_{1}, k_{2} ⟩ + | k_{2}, k_{1} ⟩)$ 来描述；三粒子亦然，任意 n 粒子态的基矢都是由 n 粒子希尔伯特空间的张量积构成。

\begin{array}{r} (6) & | 0 ⟩ ⟶ H^{(0)} \\ (7) & | k ⟩ ⟶ H^{(1)} \\ (8) & | k_{1}, k_{2} ⟩ ⟶ H^{(2)} \\ (9) & H = H^{(0)} \oplus H^{(1)} \dots \oplus H^{(n)}, \end{array}

对于费米子体系，也是相应的构建思路，区别只是在对称化基矢上的搭建。多粒子体系也有相应的完全性关系，

4. 多粒子体系的算符

　　我们以离散谱为例，连续化的结果通过把求和替换为积分获得。

　　设 $F$ 为多粒子体系的总单体算符，对应的单粒子算符为 $f$ ，那么总的测量结果为单粒子测量结果之和。引入粒子数算符 $N (f_{i}) = a (f_{i})^{†} a (f_{i})$ ，其中 $f_{i}$ 为单体算符的本征值谱，该粒子数算符统计处于该本征值的粒子数目。那么 $F = \sum^{i} f_{i} a (f_{i})^{†} a (f_{i})$ 。现在需要得到任意表象下的形式，利用真空态和完备性关系，我们可以得到产生和湮灭算符在不同表象下的关系

\begin{matrix} (10) & a^{†} (f) | 0 ⟩ = | f ⟩ = \sum^{h} ⟨ h | f ⟩ a^{†} (f) | 0 ⟩, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & ⟨ 0 | a (f) = ⟨ f | = \sum^{h} ⟨ f | h ⟩ a (f) ⟨ 0 |, \end{matrix}

因此，我们可以通过表象变换得到

F

在任意表象下的最终形式

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} F & = \sum^{i} f_{i} a^{†} a (f_{i}) \\ = \sum^{h, h^{'}} ⟨ h | F | h^{'} ⟩ a^{†} (h) a (h^{'}), \end{aligned} \end{matrix}

类似的，我们可以得到总双体算符只任意表象下的表示。

　　总双体算符 $D$ 描述了两个量子态之间的相互作用势能。可以分成两部分，第一部分描述处于不同量子态的粒子相互作用，类似于坐标表象下静电势能，正比于对应态矢的粒子数量。第二部分描述相同态之间的相互作用，假设处于相同态的粒子数目为 $n$ ，那么从 $n$ 个粒子里选出两个粒子计算势能，一共有 $C_{n}^{2}$ 种选法，于是总的相互作用势能为

\begin{matrix} (13) & \begin{aligned} D & = \sum^{i < j} d_{i j} N (d_{i}) N (d_{j}) + \sum^{i = j} \frac{1}{2} d_{i i} N (d_{i}) (N (d_{i}) - 1) \\ = \frac{1}{2} \sum^{i, j} d_{i j} (N (d_{i}) N (d_{j}) - N (d_{i}) δ_{i j}), \end{aligned} \end{matrix}

　　假设该粒子体系都是玻色子或者费米子，那么离散情况下满足 $a (d_{i}) a^{†} (d_{j}) - ε a^{†} (d_{j}) a (d_{i}) = δ_{i j}$ 。费米子下 $ε = - 1$ 。于是我们可以进一步化简上式，

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} N (d_{i}) N (d_{j}) - N (d_{i}) δ_{i j} & = a^{†} a (d_{i}) a^{†} a (d_{j}) - a^{†} a (d_{i}) δ_{i j} \\ = a^{†} (d_{i}) (δ_{i j} + ε a^{†} (d_{j}) a (d_{i})) a (d_{j}) - a^{†} a (d_{i}) δ_{i j} \\ = a^{†} (d_{j}) a^{†} (d_{i}) a (d_{i}) a (d_{j}), \end{aligned} \end{matrix}

于是可以得到双体算符在该表象下的形式

\begin{matrix} (15) & D = \frac{1}{2} \sum^{i, j} a^{†} (d_{j}) a^{†} (d_{i}) d_{i j} a (d_{i}) a (d_{j}) = \frac{1}{2} \sum^{i, j} a^{†} (d_{j}) a^{†} (d_{i}) ⟨ d_{j} d_{i} | D | d_{i} d_{j} ⟩ a (d_{i}) a (d_{j}), \end{matrix}

　　运用类似的计算方式，可以得到任意表象下的双体算符形式。也可以理解为，由于表象变换不改变测量值，所以直接将上式的本征态矢及算符换成其他表象下的形式即可。

习题 1　

　　多粒子体系在坐标表象下的总哈密顿算符形式

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