莫尔斯引理

                     

贡献者： DTSIo

　　 莫尔斯引理在微分几何学中占有基本地位。粗略地说，它表示：一个光滑函数在其非退化临界点附近的表现，完全由其在这一点处的二阶导数决定。

1. 表述与直观

　　 我们注意到, $f(0)+\frac{1}{2}⟨f^{″}(0)x,x⟩$ 正是 $f$ 的泰勒展开截断到二阶的近似表达式. 因此, 莫尔斯引理说明: 在非退化临界点附近, 可以找到一个坐标变换, 使得 $f$ 的表达式在新坐标之下与 $f$ 的二阶近似重合.

2. 证明

　　 设 Hessian 矩阵 $f^{″}(0)=(h_{ij})$. 将新坐标 ${\phi }^{-1}(x)$ 记作 $y$, 从而将方程重写为

我们希望新坐标 $y$ 是二阶接近旧坐标 $x$ 的, 所以可以设 $$y^k=x^k+\sum _{i,j=1}^n{A}_{ij}^k(x)x^i{x}^j.$$ 其中 $A_{ij}(x)$ 是待求解的光滑函数. 将 $f(x)$ 进行泰勒展开到三阶, 得到 $$f(x)=f(0)+\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^n{h}_{ij}{x}^i{x}^j+\sum _{i,j,k=1}^n{R}_{ijk}(x)x^i{x}^j{x}^k.$$ 其中最后一项是积分形式的余项给出的, $R_{ijk}(x)$ 都是已知的光滑函数. 于是, 将 $y$ 代入式 1 右边, 将 $f(x)$ 的泰勒展开式代入式 1 左边, 式 1 就化成了 $$\sum _{i,j,k,l=1}^n{h}_{kl}{A}_{ij}^l(x)x^i{x}^j{x}^k=\sum _{i,j,k=1}^n{R}_{ijk}(x)x^i{x}^j{x}^k-\frac{1}{2}\sum _{i,j,k,l=1}^n\sum _{p,q=1}^n{h}_{pq}{A}_{ij}^p(x)A_{kl}^q(x)x^i{x}^j{x}^k{x}^l.$$ 如果对比 $x^i{x}^j{x}^k$ 的系数, 会发现只需要求解如下关于 $A(x)$ 的方程: 到目前为止还没有用到 $(h_{ij})$ 是非退化矩阵. 现在要用到它了. 将 $(h_{ij})$ 的逆矩阵写为 $(c^{ij})$, 同时记 $B_{ijk}(x)=\sum _{l=1}^n{h}_{kl}{A}_{ij}^l(x)$, 则式 2 就等价于 $$B_{ijk}(x)=R_{ijk}(x)-\frac{1}{2}\sum _{l=1}^n\sum _{p,q=1}^n{c}^{pq}{B}_{ijp}(x)B_{klq}(x)x^l.$$ 这已经是关于未知量 $[B_{ijk}(x){]}_{i,j,k=1}^n$ 的不动点型方程了. 如果将它移项重写为 $F(x,B)=0$, 其中 $$F(x,B)=B_{ijk}-R_{ijk}(x)+\frac{1}{2}\sum _{l=1}^n\sum _{p,q=1}^n{c}^{pq}{B}_{ijp}{B}_{klq}{x}^l,$$ 则显然有 $$\frac{\partial F}{\partial B}(0,R(0))=\mathrm{Id}.$$ 即恒同映射. 根据隐函数定理, 这确定了唯一一个隐函数 $[B_{ijk}(x){]}_{i,j,k=1}^n$. 满足 $[B_{ijk}(0){]}_{i,j,k=1}^n=[R_{ijk}(0){]}_{i,j,k=1}^n$. 这就给出了满足条件的新坐标 $$y^k=x^k+\sum _{i,j,l=1}^n{c}^{kl}{B}_{ijl}(x)x^i{x}^j.$$