贡献者： DTSIo
莫尔斯引理在微分几何学中占有基本地位。粗略地说，它表示：一个光滑函数在其非退化临界点附近的表现，完全由其在这一点处的二阶导数决定。
1. 表述与直观
引理 1 莫尔斯引理
设 $n$ 元光滑函数 $f$ 定义在坐标原点附近, 满足 $f'(0)=0$. 如果 Hessian 矩阵
$$
f''(0)=\left(\frac{\partial^2f}{\partial x^i\partial x^j}(0)\right)~
$$
是可逆的, 则在坐标原点的某个小邻域上, 存在微分同胚 $\varphi(x)$, 使得
$$
(f\circ\varphi)(x)=f(0)+\frac{1}{2}\langle f''(0)x,x\rangle~.
$$
我们注意到, $f(0)+\frac{1}{2}\langle f''(0)x,x\rangle$ 正是 $f$ 的泰勒展开截断到二阶的近似表达式. 因此, 莫尔斯引理说明: 在非退化临界点附近, 可以找到一个坐标变换, 使得 $f$ 的表达式在新坐标之下与 $f$ 的二阶近似重合.
2. 证明
设 Hessian 矩阵 $f''(0)=(h_{ij})$. 将新坐标 $\varphi^{-1}(x)$ 记作 $y$, 从而将方程重写为
\begin{equation}
f(x)=f(0)+\frac{1}{2}\sum_{k,l=1}^nh_{kl}y^ky^l~.
\end{equation}
我们希望新坐标 $y$ 是二阶接近旧坐标 $x$ 的, 所以可以设
$$
y^k
=x^k+\sum_{i,j=1}^nA^k_{ij}(x)x^ix^j~.
$$
其中 $A_{ij}(x)$ 是待求解的光滑函数. 将 $f(x)$ 进行泰勒展开到三阶, 得到
$$
f(x)=f(0)+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^nh_{ij}x^ix^j+
\sum_{i,j,k=1}^nR_{ijk}(x)x^ix^jx^k~.
$$
其中最后一项是积分形式的余项给出的, $R_{ijk}(x)$ 都是已知的光滑函数. 于是, 将 $y$ 代入
式 1 右边, 将 $f(x)$ 的泰勒展开式代入
式 1 左边,
式 1 就化成了
$$
\sum_{i,j,k,l=1}^nh_{kl}A^l_{ij}(x)x^ix^jx^k
=\sum_{i,j,k=1}^nR_{ijk}(x)x^ix^jx^k
-\frac{1}{2}\sum_{i,j,k,l=1}^n\sum_{p,q=1}^nh_{pq}A^p_{ij}(x)A^q_{kl}(x)x^ix^jx^kx^l~.
$$
如果对比 $x^ix^jx^k$ 的系数, 会发现只需要求解如下关于 $A(x)$ 的方程:
\begin{equation}
\sum_{l=1}^nh_{kl}A^l_{ij}(x)
=R_{ijk}(x)
-\frac{1}{2}\sum_{l=1}^n\sum_{p,q=1}^nh_{pq}A^p_{ij}(x)A^q_{kl}(x)x^l~.
\end{equation}
到目前为止还没有用到 $(h_{ij})$ 是非退化矩阵. 现在要用到它了. 将 $(h_{ij})$ 的逆矩阵写为 $(c^{ij})$, 同时记 $B_{ijk}(x)=\sum_{l=1}^nh_{kl}A^l_{ij}(x)$, 则
式 2 就等价于
$$
B_{ijk}(x)
=R_{ijk}(x)-\frac{1}{2}\sum_{l=1}^n\sum_{p,q=1}^nc^{pq}B_{ijp}(x)B_{klq}(x)x^l~.
$$
这已经是关于未知量 $[B_{ijk}(x)]_{i,j,k=1}^n$ 的不动点型方程了. 如果将它移项重写为 $F(x,B)=0$, 其中
$$
F(x,B)=B_{ijk}-R_{ijk}(x)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^n\sum_{p,q=1}^nc^{pq}B_{ijp}B_{klq}x^l~,
$$
则显然有
$$
\frac{\partial F}{\partial B}(0,R(0))=\mathrm{Id}~.
$$
即恒同映射. 根据隐函数定理, 这确定了唯一一个隐函数 $[B_{ijk}(x)]_{i,j,k=1}^n$. 满足 $[B_{ijk}(0)]_{i,j,k=1}^n=[R_{ijk}(0)]_{i,j,k=1}^n$. 这就给出了满足条件的新坐标
$$
y^k
=x^k+\sum_{i,j,l=1}^nc^{kl}B_{ijl}(x)x^ix^j~.
$$
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