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贡献者：certain_pineappleGiacomo

群代数与正则表示

预备知识　群矩阵表示及实例，共轭与共轭类

1. 群代数

　　注：本文主要以复表示为例。

定义 1　群空间

　　对于有限群 $G = {g_{1}, g_{2} . . . g_{m}}$ ，设 $V_{G}$ 为群元在复数域 $C$ 是的所有线性叠加的集合：

\begin{matrix} (1) & V_{G} = {\sum_{ν} x_{ν} g_{ν} | x_{ν} \in C, g_{ν} \in G}, \end{matrix}

　　在这个基础上我们可以定义加法和数乘。

　　设 $x = \sum_{ν} x_{ν} g_{ν}$ ， $y = \sum_{μ} y_{μ} g_{μ}$ ， $a \in C$ ，则有：

\begin{aligned} (2) & x + y & = \sum_{ν} x_{ν} g_{ν} + \sum_{μ} y_{μ} g_{μ} = \sum_{ν} (x_{ν} + y_{ν}) g_{ν} \\ (3) & a x & = \sum_{ν} (a x_{ν}) g_{ν} . \end{aligned}

　　这样显然构成了一个 $m$ 维的线性空间， $m$ 为群 $G$ 的阶数。

　　线性空间的一组基为 ${g_{1}, g_{2} . . . g_{m}}$ ，称为自然基底。

　　在定义完群空间后我们进一步定义群空间中的代数乘法，使其构成一个代数，也就是本节标题——群代数。

定义 2　群代数

　　设 $V_{G}$ 为群 $G$ 的群空间，且有 $x = \sum_{ν} x_{ν} g_{ν}$ ， $y = \sum_{μ} y_{μ} g_{μ}$ ，我们定义其乘法规则为：

\begin{matrix} (4) & x * y = \sum_{ν} x_{ν} g_{ν} \sum_{μ} y_{μ} g_{μ} = \sum_{ν μ} (x_{ν} y_{μ}) (g_{ν} g_{μ}), \end{matrix}

　　其中 $g_{ν} g_{μ}$ 一项依照群乘法表的乘法规则给出结果。

　　在这样的乘法规则下 $V_{G}$ 构成了复数域 $C$ 上的一个结合代数，称为 $A_{G}$ 。

　　注：群代数的结合律来自于群元的结合律。

　　我们同样可以在这个线性空间中定义内积 $(g_{α}, g_{β}) = δ_{α, β} .$

　　在群代数的视角下，群元的相乘可以视作一个算符，由群元映射出的算符给出的表示被称为正则表示，由算符定义不同可以分为左正则表示和右正则表示。

　　这样给出的算符可以验证其的确符合群乘法规则：

　　 $L (g_{α}) x = g_{α} x, R (g_{α}) x = x g_{α}^{- 1} .$

　　容易验证这两种方法定义的算符均符合群的乘法规则，可以构成一个表示。

　　表示矩阵的形式也极为简单，仅仅是标定了群元相乘的结果，我们以 $C_{3}$ 群的左正则表示为例(以 ${e, a, a^{2}}$ 为基)。

　　 $D (e) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), D (a) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), D (a^{2}) = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

2. 类空间

定义 3　

　　设集合 $C_{α} = {s_{1}, s_{2}, . . . s_{n (α)}}$ 为群 $G$ 的一个共轭类。

　　那么定义群代数空间 $A_{G}$ 中矢量 $c^{α}$ 为类算符。 $c^{α} = \sum_{s_{i} \in C_{α}} s_{i} .$

　　根据共轭类的定义可以看出类算符与所有群元对易。

　　完全类似上文的，可以定义：

定义 4　类空间

　　以群 $G$ 中所有类算符构成的线性空间 $V_{C} = {x = \sum_{α} x_{α} c^{α}, x_{α} \in C}$ 称为群 $G$ 的类空间，类空间是群空间的一个子空间。

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1. 群代数

定义 1　群空间

定义 2　群代数

2. 类空间

定义 3

定义 4　类空间

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1. 群代数

定义 1 群空间

定义 2 群代数

2. 类空间

定义 3

定义 4 类空间

定义 1　群空间

定义 2　群代数

定义 3　

定义 4　类空间