摆线

贡献者：零穹; addis

本文处于草稿阶段。

　　其中 $a$ 是大于零的参数。令方括号部分为 $\theta$，该方程能写成 $\theta$ 的参数方程，该曲线被称为摆线（cycloid）或滚轮线。

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= a(\theta - \sin\theta)\\ y &= a(1 - \cos\theta) \end{aligned}\right. ~.\end{equation}

公式推导

图 1：摆线

　　如图 1 ，直角坐标系 $xOy$ 中，半径为 $a$ 的圆 $B$ 沿 $x$ 轴做无滑滚动，该圆与 $x$ 轴相切与 $A$ 点，圆上一动点 $M$ 在 $x$ 轴上投影为点 $D$ , 点 $C$ 为 $M$ 在线 $AB$ 上的垂点，动点 $M$ 初始位置在坐标原点 $O$ , 其运动轨迹便是摆线，$\angle ABM=\theta$，设动点 $M$ 坐标为 $(x,y)$，则

\begin{equation} \begin{aligned} &OA=a\theta ~,\\ &AD=a\sin\theta~,\\ &BC=a \cos\left(\pi-\theta\right) =-a \cos\theta~. \end{aligned} \end{equation}

由几何关系可知

\begin{equation} \begin{aligned} &x=OA-AD=a\theta-a\sin\theta=a(\theta-\sin\theta)~,\\ &y=a+BC=a-a\cos\theta=a(1-\cos\theta)~. \end{aligned} \end{equation}

这便是摆线的参数方程。

未完成：推导公式

　　从 $\theta = 0$ 开始的任意一段摆线都是连接这两点的最速降线。

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