摆线

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   其中 $a$ 是大于零的参数.令方括号部分为 $\theta$,该方程能写成 $\theta$ 的参数方程,该曲线被称为摆线(cycloid)滚轮线

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x &= a(\theta - \sin\theta)\\ y &= a(1 - \cos\theta) \end{aligned}\right. \end{equation}
公式推导

图
图 1:摆线

   如图 1 ,直角坐标系 $xOy$ 中,半径为 $a$ 的圆 $B$ 沿 $x$ 轴做无滑滚动,该圆与 $x$ 轴相切与 $A$ 点,圆上一动点 $M$ 在 $x$ 轴上投影为点 $D$ , 点 $C$ 为 $M$ 在线 $AB$ 上的垂点,动点 $M$ 初始位置在坐标原点 $O$ , 其运动轨迹便是摆线,$\angle ABM=\theta$,设动点 $M$ 坐标为 $(x,y)$,则

\begin{equation} \begin{aligned} &OA=a\theta \\ &AD=a\sin\theta\\ &BC=a \cos\left(\pi-\theta\right) =-a \cos\theta \end{aligned} \end{equation}
由几何关系可知
\begin{equation} \begin{aligned} &x=OA-AD=a\theta-a\sin\theta=a(\theta-\sin\theta)\\ &y=a+BC=a-a\cos\theta=a(1-\cos\theta) \end{aligned} \end{equation}
这便是摆线的参数方程.
未完成:推导公式

   从 $\theta = 0$ 开始的任意一段摆线都是连接这两点的最速降线

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