手动计算开根号(长除法)

                     

贡献者: addis

   我们举例说明如何用长除法计算开根号

例 1 

图
图 1:手动开根号的例子,计算 $\sqrt{21} = 4.582\dots$

   作为一个例子,我们来计算 $\sqrt{21}$.首先试一个最大的一位数 $x$(红色),使它的平方小于等于 $21$,易得 $4$.把 $4$ 分别写到根号左边和上方,相乘得 $16$ 写到 $21$ 下方.现在计算 $21-16 = 5$,写到下方并在后面添加两个零得 $500$.接下来把最上方的 $4$ 乘以 $20$ 写到第二个根号左边,并试一个橙色的最大一位数 $x$ 使得 $(80+x) x$ 同样小于等于 $500$,易得 $x = 5$,$85\times 5 = 425$.继续用 $500-425$ 并在后面加两个零得 $7500$.把当前最上方的两位数 $45$ 乘以 $20$ 得 $900$ 写到第三个根号左边,再试一位绿色的数 $x$,使 $(900+ x) x$ 小于等于 $7500$,易得 $x = 8$,$908\times 8 = 7264$.再算 $7500-7264$,添加两个零得 $23600$.把最上方所得三位数 $458$ 乘以 $20$ 写到第四个根号左边,试一位蓝色的数 $x$ 使 $(9160+x)x$ 小于等于 $23600$,得 $x = 2$.以此类推,就可以精确到任意位小数,即 $\sqrt{21} = 4.582\dots$.

   注意该方法也适用于对非整数开根号.另外如果要开根的数大于 $100$ 或小于 $1$,可以先把它乘以 $100^{N}$($N$ 为任意整数)使其落到 $1$ 到 $100$ 之间,开完根后再除以 $10^N$ 即可.这是因为 $\sqrt{100^{N} x}/10^N = \sqrt{x}$.这种做法可以保证上述的第一步中总是可以用一个一位数试根.

推导

   若我们要算 $s^2$ 的开根号,并假设 $s$ 的 $n$ 位有效数字(不做四舍五入)为 $s_n$,例如 $s = \sqrt{2} = 1.414213562\dots$,则 $s_1 = 1$,$s_2=1.4$,$s_3=1.41$,……那么显然有

\begin{equation} s^2 = s_1^2 + (s_2+s_1)(s_2-s_1) + (s_3+s_2)(s_3-s_2) + \dots \end{equation}
现在,第 $i$ 位有效数字(小数点位置不变)为 $d_i = s_i-s_{i-1}$,且 $d_1 = s_1$,易得
\begin{equation} s^2 = d_1^2 + (2s_1 + d_2)d_2 + (2s_2 + d_3)d_3 + \dots \end{equation}
现在,若已知 $s^2$,我们就可以先试出最大的 $d_1$,满足 $d_1^2\leqslant s^2$.然后再试出最大的 $d_2$,满足 $(2s_1 + d_2)d_2 \leqslant s^2 - d_1^2$,以此类推就可以求出任意位的小数.


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