函数的连续与间断

定义 1　左连续，右连续，连续

　　 若函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,{\delta }_0)$ 内有定义，且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点。

　　 若函数 $f(x)$ 在 $U^{+}(x_0,{\delta }_0)$ 内有定义，且 $f(x_0^{+})=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 右连续。

　　 若函数 $f(x)$ 在 $U^{-}(x_0,{\delta }_0)$ 内有定义，且 $f(x_0^{-})=f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 左连续。

定义 2　间断点

　　 设函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,{\delta }_0)$ 内有定义，若 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的连续点，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断（或不连续），并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点（或不连续点）。

定义 3　第一类间断点与第二类间断点

　　 用左右极限来刻画间断点，则有以下几种情况：

1. 若 $f(x_0^{+})$ 和 $f(x_0^{-})$ 都存在，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点。此时若 $f(x_0^{+})=f(x_0^{-})\ne f(x_0)$，则称它为可去间断点，否则称它为跳跃间断点。
2. 若 $f(x_0^{+})$ 和 $f(x_0^{-})$ 至少有一个不存在，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点。

定理 1　局部有界性

　　 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta )$，使得 $f(x)$ 在该邻域内有界。

定理 2　局部保号性

　　 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，而 $f(x_0)>0$，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta )$，使得 $f(x)$ 在该邻域内 $>0$。

定理 3　局部保号性

　　 更强的命题：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续，而 $f(x_0)>A$，则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta )$，使得 $f(x)$ 在该邻域内 $>A$。

定理 4　四则运算下的性质

　　 连续函数经四则运算后仍然连续，即若 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则函数 $f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x_0)\ne 0)$ 仍然在 $x_0$ 处连续。

定理 5　复合函数的连续性

　　 设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续，复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x_0$ 连续。

定理 6　复合连续函数极限

　　 设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续，那么 $\underset{x\to x_0}{lim}f(g(x))=f(\underset{x\to x_0}{lim}g(x))$ 一定成立。

定理 7　反函数连续性

　　 设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上严格单调的连续函数，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $f(I)$ 上连续。

定理 8　

　　 初等函数在其定义域内是连续的。