函数的连续与间断

             

贡献者: _Eden_

预备知识 函数极限的性质

1. 连续与连续函数

定义 1 左连续,右连续,连续

   若函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 内有定义,且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续,$x_0$ 为 $f(x)$ 的一个连续点

   若函数 $f(x)$ 在 $U^+(x_0,\delta_0)$ 内有定义,且 $f(x_0^+)=f(x_0)$,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 右连续

   若函数 $f(x)$ 在 $U^-(x_0,\delta_0)$ 内有定义,且 $f(x_0^-)=f(x_0)$,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 左连续

   连续的另一种等价定义:若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续且右连续($i.e. $ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 上有定义,且 $f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$),那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

习题 1 连续函数

   开区间上连续函数:设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有定义.若 $\forall x_0\in(a,b)$,$f(x)$ 在 $x_0$ 连续,那么称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续,记为 $f(x)\in C(a,b)$.

   闭区间上连续函数:设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内有定义.若 $f(x)\in C(a,b)$,且 $f(x)$ 在 $a$ 处右连续,在 $b$ 处左连续,那么称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内连续,记为 $f(x)\in C[a,b]$.

习题 2 

  1. $f(x)=1/x-[1/x]$,求 $f(x)$ 的所有连续点.
  2. $f(x)=1/x\ (x\in(0,1))$,证明 $f(x)\in C(0,1)$.
  3. $f(x)=\left\{\begin{aligned}&x\cdot \sin\left(1/x\right) ,&x\in(0,1]\\&0,&x=0 \end{aligned}\right.$,证明 $f(x)\in C[0,1]$.
  4. 证明:若 $f(x)\in C(a,b)$,且极限 $\lim\limits_{x\rightarrow a^+}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=B$ 存在,则可以连续延拓到 $(-\infty,+\infty)$.

2. 间断,几类间断点

定义 2 间断点

   设函数 $f(x)$ 在 $U(x_0,\delta_0)$ 内有定义,若 $x_0$ 不是 $f(x)$ 的连续点,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 间断(或不连续),并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个间断点(或不连续点).

定义 3 第一类间断点与第二类间断点

   用左右极限来刻画间断点,则有以下几种情况:

  1. 若 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$ 都存在,则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点.此时若 $f(x_0^+)=f(x_0^-)\neq f(x_0)$,则称它为可去间断点,否则称它为跳跃间断点
  2. 若 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$ 至少有一个不存在,则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点

习题 3 

  1. $f(x)=1/x-[1/x]$,求 $f(x)$ 的所有间断点.
  2. $f(x)= \sin\left(1/x\right) $,考察 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性.
  3. 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调,证明 $f(x)$ 的间断点都是跳跃间断点.
  4. 构造定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数 $f(x)$,使得处处都是间断点.

   考察黎曼函数图 2 的连续性:

\begin{equation} f(x)=\left\{ \begin{aligned} &1/q, &x=\frac{p}{q}\ (p,q\in \mathbb{N}, \frac{p}{q}\text{为既约真分数})\\ &0,&x=0\text{或}x=1\text{或} x\notin \mathbb{Q} \end{aligned} \right. \end{equation}
可以证明,对于 $x_0\in(0,1)$,若 $x_0$ 是有理数,则 $x_0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点;若 $x_0$ 是无理数,则 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续.

3. 连续函数的性质

定理 1 局部有界性

   若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续,则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$,使得 $f(x)$ 在该邻域内有界.

定理 2 局部保号性

   若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续,而 $f(x_0) > 0$,则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$,使得 $f(x)$ 在该邻域内 $ > 0$.

定理 3 局部保号性

   更强的命题:若 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续,而 $f(x_0) > A$,则必存在 $x_0$ 的一个邻域 $U(x_0,\delta)$,使得 $f(x)$ 在该邻域内 $ > A$.

定理 4 四则运算下的性质

   连续函数经四则运算后仍然连续,即若 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处连续,则函数 $f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x_0)\neq 0)$ 仍然在 $x_0$ 处连续.

定理 5 复合函数的连续性

   设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续,复合函数 $f(g(x))$ 在点 $x_0$ 连续.

   由连续性的定义,我们还可以推出复合连续函数极限的性质

定理 6 复合连续函数极限

   设 $u=g(x)$ 在点 $x_0$ 连续,$y=f(u)$ 在点 $u_0=g(x_0)$ 连续,那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x))$ 一定成立.

   实际上,如果 $u_0$ 是 $f$ 的可去间断点,在满足一定条件的情况下这个性质仍然成立.详细的表述可以看 定理 9

定理 7 反函数连续性

   设 $f(x)$ 是区间 $I$ 上严格单调的连续函数,则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在 $f(I)$ 上连续.

习题 4 

  1. 对于给定的常数 $a > 0$,应如何定义指数函数 $f(x)=a^x$($x$ 是无理数的情况)?
  2. 判断指数函数 $f(x)=a^x(a > 0)$ 的连续性.
  3. $u(x)$ 在 $x_0$ 处连续,$u(x_0) > 0$;$v(x)$ 在 $x_0$ 处连续.证明:$f(x)=u(x)^{v(x)}$ 在 $x_0$ 处连续,且 $f(x_0)=u(x_0)^{v(x_0)}$.

   由以上的习题,可以推出一个重要结论:初等函数在其定义域内是连续的

定理 8 

   初等函数在其定义域内是连续的.


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