Clifford 代数的基本运算

                     

贡献者: 叶月2_

预备知识 Clifford 代数

   本节利用集合语言,介绍 Clifford 代数上的二元线性运算1。通过线性性可以将这些运算推广到 Clifford 代数的其他元素上。我们也会证明,更改线性空间的正交基并不会改变运算的形式。

外积与正交基

定义 1 外积

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} A \wedge B=\left\{\begin{aligned} A B,\quad& A \cap B=\varnothing \\ 0,\quad& A \cap B \neq \varnothing~, \end{aligned}\right. \end{equation}
并称之为外积(outer product or exterior product)或楔积(wedge product)。我们可以通过线性性将该运算拓展到任意元素之间的外积。

   Clifford 积的结合性使得外积也具有结合性,读者可以自行验证。由运算的线性可知,外积还具有幂零性,即任意 $v\in V,v\wedge v=0$。 在上一节,我们说过,集合语言的阐述实际上是指定了线性空间的正交基。正交性体现为 CLifford 积的反对称性。因而对于正交基$\{\mathrm {e_i}\}$,我们有 $\mathrm{e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i}$。由外积的线性性可得,在给定正交基后,任意两个向量做外积,结果具有反对称性。也就是说,外积的反对称性是依赖于正交基的。

   在幂零性和正交性的保证下,正交基的外积表现不随正交变换而改变。例如某线性空间下有两组正交基 $\{e_i\},\{\theta_i\}$,且 $\mathrm {\theta_1=a^i e_i,\theta_2=b^i e_i}$.那么我们由线性性和 $\{e_i\}$ 的正交关系得到:$\theta_i\wedge\theta_i=0$,而且有:

\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \theta_1 \theta_2=\left(a^i e_i\right) \wedge\left(b^j e_j\right)+\sum_k\left(a^k b^k s(e_k)\right) \\ \theta_2 \theta_1=\left(b^j e_j\right) \wedge\left(a^i e_i\right)+\sum_k\left(b^k a^k s(e_k)\right) \end{array}\right.~, \end{equation}
$a^i,b^i$ 是过渡矩阵里的两个列向量。 正交性要求 $\theta_1\theta_2=-\theta_2\theta_1$,对应 $\theta_i\wedge\theta_j=-\theta_j\wedge\theta_i$。从上式可以看到,基的正交性等价于正交变换条件$\sum_k(a^k b^k s(e_k))=0$,这其实是正交矩阵在任意线性空间的推广。在配备了正定二次型的欧几里得空间中,这意味着正交矩阵定义为列向量组中任意两个列向量内积为 $0$。

左内积

定义 2 

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} A\left\llcorner B=\left\{\begin{aligned} A B,\quad & A \subseteq B ; \\ 0,\quad & A \nsubseteq B . \end{aligned}\right.\right.~, \end{equation}
并称之为左内积(left inner product or left interior product)。我们依然可以通过线性性将运算推广到 Clifford 代数的任意元素上。

   右内积的定义是对偶的,即:

定义 3 右内积

\begin{equation} A\lrcorner B=\left\{\begin{aligned} A B,\quad & A \supseteq B ; \\ 0,\quad & A \nsupseteq B . \end{aligned}\right.~, \end{equation}

   下面我们只研究左内积。

   与外积相同,左内积也具有 “正交基形式不变性”。 例如,在同一线性空间中选取两组正交基,$\{e_i\}$,$\{\theta _i\}$,且 $\mathrm {\theta_1=a^i e_i,\theta_2=b^i e_i},\theta_3=c^i e_i$。那么我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} \theta_1\left\llcorner\theta_2\right. & =\left(a^i e_i\right)\left\llcorner\left(b^j e_j\right)\right. \\ & =\sum_i s(i) a^i b^i=0 \end{aligned}~, \end{equation}

习题 1 

   证明:$\theta_1\left\llcorner(\theta_2\theta_3)\right.$=0。提示:证明每一个分量为 0.

   左内积可以给出几何代数上的分次结构:

习题 2 

   对于任意 k-向量 A 和 s-向量 B,证明

\begin{equation} A\left\llcorner B=\langle A B\rangle_{s-k} .\right.~, \end{equation}

标量积

   标量积是一种特殊情况,即左右内积相等。

定义 4 标量积

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,

\begin{equation} A * B=\left\{\begin{array}{cc} A B, & A=B \\ 0, & A \neq B . \end{array}\right.~, \end{equation}

   读者可以自行证明标量积的正交基形式不变性。

   在上一节,我们证明了 $e_Ae_B\propto e_{A\Delta B}$。实际上这里的系数是 A 与 B 交集部分的标量积(默认下标都是从小到大排列),我们用 $g_{AB}$ 表示,即标量积可视作利用 V 上二次型 q 诱导出几何代数上的二次型。

定理 1 

   已知几何代数 $\mathcal {G}(V, q)$ 上的二次型 $q$ 在某基下表示为矩阵 $g_{ij}$,$q $ 诱导的标量积则表示为 $g_{AB}$,其中 $A,B$ 是复杂指标。则

\begin{equation} g_{A B}=e_A*e_B=\left\{\begin{aligned} 0,\quad & A \neq B \\ (-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}} \prod_{i \in A} g_{i i}, \quad& A=B \end{aligned}\right.~, \end{equation}

   Proof. 按照标量积定义,$A \neq B$ 时,$g_{AB}$=0。$A = B$ 时,$\frac{|A|(|A|-1)}{2}$ 是 $e_B$ 进行对换,使得 $e_i$ 相邻所需要跨过的总次数。比如从 $e_1e_2e_3e_1e_2e_3$ 变换到 $e_1e_1e_2e_2e_3e_3$ 的总步数。根据正交性,每一次变换位置都需要乘以-1。得证。

   对于任意 $v_1,v_2\in V$,线性运算使得 Clifford 积可以分解为依赖于二次型的标量积和与二次型无关的外积:$v_1v_2=v_1* v_2+v_1\wedge v_2$

投影,对合,反转以及共轭

定义 5 投影

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} \langle A\rangle_k=\left\{\begin{array}{cc} A, & |A|=k \\ 0, & |A| \neq k \end{array}\right.~, \end{equation}
并称之为在 k-次子空间上的投影。

定义 6 按次对合

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} A^{\star}=(-1)^{|A|}A~, \end{equation}
并称之为按次对合(grade involution)、第一类对合(first main involution)或者简称为 main involution。

定义 7 反转

   给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} A^{\dagger}=(-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}}A~, \end{equation}

   并称之为反转(reversion)、第二类对合(second main involution)或者主反自同构(principal anti-automorphism)。反转是下指标重排的过程: $$(e_1e_2...e_n)^{\dagger}=e_ne_{n-1}...e_2e_1~,$$

定义 8 共轭

   定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$,对于 $A,B\in 2^x$,定义

\begin{equation} A^{\square}=A^{\star \dagger}~, \end{equation}
并称之为 Clifford 共轭(Clifford conjugate)。

习题 3 

   已知 $\mathcal G(\mathbb R^{0,1})\cong \mathbb C,G(\mathbb R^{0,2})\cong \mathbb H$,证明:按次对合和 Clifford 共轭在 $\mathbb C$ 上就是复共轭,而 Clifford 共轭在 $\mathbb H$ 上是四元数共轭

常见结论

   在实际运算的过程中,我们有时候会遇到多个元素通过多个运算结合在一起,下面给出一些结合相关的性质。

习题 4 

   对于 $x,y,z\in\mathrm {CL(X,R,s)}$,证明

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x \wedge(y \wedge z) & =(x \wedge y) \wedge z ;\\ x\llcorner(y\lrcorner z) & =(x\llcorner y)\lrcorner z ;\\ x\llcorner(y\llcorner z) & =(x \wedge y)\llcorner z; \\ x *(y\llcorner z) & =(x \wedge y) * z ; \\ 1 \wedge x & =x \wedge 1=1\llcorner x=x\lrcorner 1=x . \end{aligned}\right.~ \end{equation}

   思路是先证明对基成立,才通过线性运算扩张。 此外,还有以下可以简化运算的结论。

习题 5 

   对于任意 $x,y\in\mathrm {CL(X,R,s)}$ 和 $v\in \mathrm{CL^1(X,R,s)}$,证明

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} v x&=v\llcorner x+v \wedge x ; \\ v \wedge x&=x^{\star} \wedge v=\frac{1}{2}\left(v x+x^{\star} v\right) ; \\ v\llcorner x&=-x^{\star}\lrcorner v=\frac{1}{2}\left(v x-x^{\star} v\right) ; \\ v\llcorner(x y)&=\left(v\llcorner x) y+x^{\star}(v\llcorner y) .\right. \end{aligned}\right.~ \end{equation}

几何代数上的对偶

定义 9 

   给定非退化几何代数\mathcal G(V,q),对 $x\in\mathcal G(V,q)$ 定义 $x^c=xI^{-1}$,称为 $x$ 的对偶(dual)

   定义里可见,由于要求体积形式有逆元,元素的对偶存在性依赖于非退化的几何代数。如果满足非退化条件,元素的外积也有其对应的对偶空间的外积。

定义 10 

   定义对偶外积(dual outer product),用符号 $\vee$ 表示,使得

\begin{equation} x\vee y=(x^c\wedge y^c)^c~. \end{equation}

   对偶定义使得左内积和外积也存在对偶关系。

定理 2 

   给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$,任取其元素 $x,y$,则有

\begin{equation} x\llcorner y=(x\wedge y^c)^c~. \end{equation}

   proof. 只需要证明 $x\llcorner y^c=(x\wedge y)^c$。

   $x\llcorner y^c=x\llcorner (yI^{-1})=x\llcorner (y\llcorner I^{-1})=(x\wedge y)\llcorner I^{-1}=(x\wedge y)^c$


1. ^ 本文参考 Jie Peter《代数学讲义》


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