Clifford 代数的基本运算

贡献者：叶月2_

预备知识　Clifford 代数

　　本节利用集合语言，介绍 Clifford 代数上的二元线性运算¹。通过线性性可以将这些运算推广到 Clifford 代数的其他元素上。我们也会证明，更改线性空间的正交基并不会改变运算的形式。

外积与正交基

定义 1　外积

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (1) & A \land B = {\begin{aligned} A B, & A \cap B = \emptyset \\ 0, & A \cap B \neq \emptyset, \end{aligned} \end{matrix}

并称之为外积（outer product or exterior product）或楔积（wedge product）。我们可以通过线性性将该运算拓展到任意元素之间的外积。

　　 Clifford 积的结合性使得外积也具有结合性，读者可以自行验证。由运算的线性可知，外积还具有幂零性，即任意 $v \in V, v \land v = 0$ 。在上一节，我们说过，集合语言的阐述实际上是指定了线性空间的正交基。正交性体现为 CLifford 积的反对称性。因而对于正交基 ${e_{i}}$ ，我们有 $e_{i} \land e_{j} = - e_{j} \land e_{i}$ 。由外积的线性性可得，在给定正交基后，任意两个向量做外积，结果具有反对称性。也就是说，外积的反对称性是依赖于正交基的。

　　在幂零性和正交性的保证下，正交基的外积表现不随正交变换而改变。例如某线性空间下有两组正交基 ${e_{i}}, {θ_{i}}$ ，且 $θ_{1} = a^{i} e_{i}, θ_{2} = b^{i} e_{i}$ .那么我们由线性性和 ${e_{i}}$ 的正交关系得到： $θ_{i} \land θ_{i} = 0$ ，而且有：

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} θ_{1} θ_{2} = (a^{i} e_{i}) \land (b^{j} e_{j}) + \sum_{k} (a^{k} b^{k} s (e_{k})) \\ θ_{2} θ_{1} = (b^{j} e_{j}) \land (a^{i} e_{i}) + \sum_{k} (b^{k} a^{k} s (e_{k})) \end{cases}, \end{matrix}

a^{i}, b^{i}

是过渡矩阵里的两个列向量。正交性要求

θ_{1} θ_{2} = - θ_{2} θ_{1}

，对应

θ_{i} \land θ_{j} = - θ_{j} \land θ_{i}

。从上式可以看到，基的正交性等价于正交变换条件

\sum_{k} (a^{k} b^{k} s (e_{k})) = 0

，这其实是正交矩阵在任意线性空间的推广。在配备了正定二次型的欧几里得空间中，这意味着正交矩阵定义为列向量组中任意两个列向量内积为

0

。

左内积

定义 2　

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (3) & A ⌞ B = {\begin{aligned} A B, & A \subseteq B; \\ 0, & A ⊈ B . \end{aligned}, \end{matrix}

并称之为左内积（left inner product or left interior product）。我们依然可以通过线性性将运算推广到 Clifford 代数的任意元素上。

　　右内积的定义是对偶的，即:

定义 3　右内积

\begin{matrix} (4) & A ⌟ B = {\begin{aligned} A B, & A \supseteq B; \\ 0, & A ⊉ B . \end{aligned}, \end{matrix}

　　下面我们只研究左内积。

　　与外积相同，左内积也具有 “正交基形式不变性”。例如，在同一线性空间中选取两组正交基， ${e_{i}}$ , ${θ_{i}}$ ，且 $θ_{1} = a^{i} e_{i}, θ_{2} = b^{i} e_{i}, θ_{3} = c^{i} e_{i}$ 。那么我们有：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} θ_{1} ⌞ θ_{2} & = (a^{i} e_{i}) ⌞ (b^{j} e_{j}) \\ = \sum_{i} s (i) a^{i} b^{i} = 0 \end{aligned}, \end{matrix}

习题 1　

　　证明： $θ_{1} ⌞ (θ_{2} θ_{3})$ =0。提示：证明每一个分量为 0.

　　左内积可以给出几何代数上的分次结构：

习题 2　

　　对于任意 k-向量 A 和 s-向量 B，证明

\begin{matrix} (6) & A ⌞ B = ⟨ A B ⟩_{s - k} ., \end{matrix}

标量积

　　标量积是一种特殊情况，即左右内积相等。

定义 4　标量积

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，

\begin{matrix} (7) & A * B = {\begin{array}{cc} A B, & A = B \\ 0, & A \neq B . \end{array}, \end{matrix}

　　读者可以自行证明标量积的正交基形式不变性。

　　在上一节，我们证明了 $e_{A} e_{B} \propto e_{A Δ B}$ 。实际上这里的系数是 A 与 B 交集部分的标量积（默认下标都是从小到大排列），我们用 $g_{A B}$ 表示，即标量积可视作利用 V 上二次型 q 诱导出几何代数上的二次型。

定理 1　

　　已知几何代数 $G (V, q)$ 上的二次型 $q$ 在某基下表示为矩阵 $g_{i j}$ ， $q$ 诱导的标量积则表示为 $g_{A B}$ ，其中 $A, B$ 是复杂指标。则

\begin{matrix} (8) & g_{A B} = e_{A} * e_{B} = {\begin{aligned} 0, & A \neq B \\ (- 1)^{\frac{| A | (| A | - 1)}{2}} \prod_{i \in A} g_{i i}, & A = B \end{aligned}, \end{matrix}

　　 Proof. 按照标量积定义， $A \neq B$ 时， $g_{A B}$ =0。 $A = B$ 时， $\frac{| A | (| A | - 1)}{2}$ 是 $e_{B}$ 进行对换，使得 $e_{i}$ 相邻所需要跨过的总次数。比如从 $e_{1} e_{2} e_{3} e_{1} e_{2} e_{3}$ 变换到 $e_{1} e_{1} e_{2} e_{2} e_{3} e_{3}$ 的总步数。根据正交性，每一次变换位置都需要乘以-1。得证。

　　对于任意 $v_{1}, v_{2} \in V$ ，线性运算使得 Clifford 积可以分解为依赖于二次型的标量积和与二次型无关的外积： $v_{1} v_{2} = v_{1} * v_{2} + v_{1} \land v_{2}$

投影，对合，反转以及共轭

定义 5　投影

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (9) & ⟨ A ⟩_{k} = {\begin{array}{cc} A, & | A | = k \\ 0, & | A | \neq k \end{array}, \end{matrix}

并称之为在 k-次子空间上的投影。

定义 6　按次对合

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (10) & A^{⋆} = (- 1)^{| A |} A, \end{matrix}

并称之为按次对合（grade involution）、第一类对合（first main involution）或者简称为 main involution。

定义 7　反转

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (11) & A^{†} = (- 1)^{\frac{| A | (| A | - 1)}{2}} A, \end{matrix}

　　并称之为反转（reversion）、第二类对合（second main involution）或者主反自同构（principal anti-automorphism）。反转是下指标重排的过程： $(e_{1} e_{2} . . . e_{n})^{†} = e_{n} e_{n - 1} . . . e_{2} e_{1},$

定义 8　共轭

　　定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ ，对于 $A, B \in 2^{x}$ ，定义

\begin{matrix} (12) & A^{◻} = A^{⋆ †}, \end{matrix}

并称之为 Clifford 共轭（Clifford conjugate）。

习题 3　

　　已知 $G (R^{0, 1}) ≅ C, G (R^{0, 2}) ≅ H$ ，证明：按次对合和 Clifford 共轭在 $C$ 上就是复共轭，而 Clifford 共轭在 $H$ 上是四元数共轭

常见结论

　　在实际运算的过程中，我们有时候会遇到多个元素通过多个运算结合在一起，下面给出一些结合相关的性质。

习题 4　

　　对于 $x, y, z \in CL (X, R, s)$ ，证明

\begin{matrix} (13) & {\begin{aligned} x \land (y \land z) & = (x \land y) \land z; \\ x ⌞ (y ⌟ z) & = (x ⌞ y) ⌟ z; \\ x ⌞ (y ⌞ z) & = (x \land y) ⌞ z; \\ x * (y ⌞ z) & = (x \land y) * z; \\ 1 \land x & = x \land 1 = 1 ⌞ x = x ⌟ 1 = x . \end{aligned} \end{matrix}

　　思路是先证明对基成立，才通过线性运算扩张。此外，还有以下可以简化运算的结论。

习题 5　

　　对于任意 $x, y \in CL (X, R, s)$ 和 $v \in {CL}^{1} (X, R, s)$ ，证明

\begin{matrix} (14) & {\begin{aligned} v x & = v ⌞ x + v \land x; \\ v \land x & = x^{⋆} \land v = \frac{1}{2} (v x + x^{⋆} v); \\ v ⌞ x & = - x^{⋆} ⌟ v = \frac{1}{2} (v x - x^{⋆} v); \\ v ⌞ (x y) & = (v ⌞ x) y + x^{⋆} (v ⌞ y) . \end{aligned} \end{matrix}

几何代数上的对偶

定义 9　

　　给定非退化几何代数\mathcal G(V,q)，对 $x \in G (V, q)$ 定义 $x^{c} = x I^{- 1}$ ，称为 $x$ 的对偶（dual）。

　　定义里可见，由于要求体积形式有逆元，元素的对偶存在性依赖于非退化的几何代数。如果满足非退化条件，元素的外积也有其对应的对偶空间的外积。

定义 10　

　　定义对偶外积（dual outer product），用符号 $\lor$ 表示，使得

\begin{matrix} (15) & x \lor y = (x^{c} \land y^{c})^{c} . \end{matrix}

　　对偶定义使得左内积和外积也存在对偶关系。

定理 2　

　　给定非退化的几何代数 $G (V, q)$ ，任取其元素 $x, y$ ，则有

\begin{matrix} (16) & x ⌞ y = (x \land y^{c})^{c} . \end{matrix}

　　 proof. 只需要证明 $x ⌞ y^{c} = (x \land y)^{c}$ 。

　　 $x ⌞ y^{c} = x ⌞ (y I^{- 1}) = x ⌞ (y ⌞ I^{- 1}) = (x \land y) ⌞ I^{- 1} = (x \land y)^{c}$

1. ^ 本文参考 Jie Peter《代数学讲义》

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

Clifford 代数的基本运算

外积与正交基

定义 1 外积

左内积

定义 2

定义 3 右内积

习题 1

习题 2

标量积

定义 4 标量积

定理 1

投影，对合，反转以及共轭

定义 5 投影

定义 6 按次对合

定义 7 反转

定义 8 共轭

习题 3

常见结论

习题 4

习题 5

几何代数上的对偶

定义 9

定义 10

定理 2

定义 1　外积

定义 2　

定义 3　右内积

习题 1　

习题 2　

定义 4　标量积

定理 1　

定义 5　投影

定义 6　按次对合

定义 7　反转

定义 8　共轭

习题 3　

习题 4　

习题 5　

定义 9　

定义 10　

定理 2　