伪标量

贡献者：叶月2_

预备知识　Clifford 代数

　　注：本文参考 Jie Peter《代数学基础》

　　几何代数 $G (V, q)$ 有一个非常特殊的元素，通常称之为定向的体积元（oriented volume element）或者体积形式（volume form），即某个标准正交基 ${e_{i}}$ 中的元素构成的积： $vol := e_{1} e_{2} e_{3} . . . e_{n},$ 该体积形式又可被叫作伪标量单位，称其平方的结果为伪标量。

　　设 ${e_{i}}$ 和 ${θ_{i}}$ 为线性空间 $V$ 中的两组标准正交基，且 $θ_{j} = A_{j}^{i} e_{i}$ ， $A_{j}^{i}$ 是过渡矩阵的元素。那么由 Clifford 积的分配律，我们有：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} θ_{1} θ_{2} . . . θ_{n} & = (A_{1}^{j_{1}} e_{j_{1}}) (A_{2}^{j_{2}} e_{j_{2}}) (A_{n}^{j_{n}} e_{j_{n}}) \\ = \sum_{σ \in S_{n}} s g n σ (A_{1}^{σ (1)}) e_{1} e_{2} . . . e_{n} \\ = d e t A_{j}^{i} e_{1} e_{2} . . . e_{n}, \end{aligned} \end{matrix}

该过渡矩阵是正交矩阵，因而体积元只相差正负号，可以表明在新的标准基下，体积的 “定向性” 是否发生改变。

　　伪标量可能为正负 1,或 1，取决于该空间的二次型。如果二次型是退化的，那么 $I^{2} = 0$ 。如果不是退化的，比如 $R^{s, t}$ ，我们有

\begin{matrix} (2) & I^{2} = (- 1)^{\frac{n (n - 1}{2}) + t}, \end{matrix}

其中，n 为该空间维度。

(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

表示将

I^{2}

重排的逆序数。比如从

e_{1} e_{2} e_{3} e_{1} e_{2} e_{3}

到

e_{1} e_{1} e_{2} e_{2} e_{3} e_{3}

。

　　 $I$ 可以用来构造新的代数，伪标量可以用来判断简单的代数同构。

例 1　

　　 $G (R^{3})$ 的伪标量单位 $I = e_{1} e_{2} e_{3}, I^{2} = - 1$ 。因而{1，I}可以张成子代数 $C$ 。同理， $G (R^{2})$ 的伪标量单位和 1 也能张成复数代数

例 2　

　　给定几何代数 $G (R^{0, 1})$ ，由于 $e_{1}^{2} = - 1$ 。因而该代数就是复数代数。

例 3　

　　可以建立从 $G (R^{0, 2})$ 到四元数的同构。同构需要从单位元映射到单位元。此外，基之间的映射可以为： $e_{1} \mapsto i, e_{2} \mapsto j, e_{1} e_{2} \mapsto k$ 。或者是 $e_{1} \mapsto i, e_{2} e_{1} \mapsto j, e_{2} \mapsto k$ 。可以验证该映射保代数同态。

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