薛定谔经典场

                     

贡献者： jiangnan

　　 通常的场论都是相对论性的，满足洛伦兹协变，但是在很多情况下我们也要处理非相对论的场，例如在凝聚态系统中，我们需要处理诸如 Gross-Pitaevskii 方程等。因此在这里我们讨论一些从场论角度看非相对论量子力学的问题。

1. 薛定谔方程的场论表述

　　 我们知道对于单粒子，薛定谔方程为

拉氏量的构造可以有很多种，这里我们选取一种拉式量的构造方法，给出薛定谔方程。我们定义 $$ L = \Psi^\star [i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - V(x)]\Psi - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla \Psi \nabla \Psi^\star~, $$ 对应的作用量为 $$ S = \int dt \int d^3 x L~. $$ 根据欧拉-拉格朗日方程 $$ \partial_u \frac{\partial L}{\partial (\partial_u \Psi)} - \frac{\partial L}{\partial \Psi}=0 ~, $$ 我们有 $$ i\hbar \partial_t \Psi^\star - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^\star + V(x)\Psi^\star=0 ~, $$ 即薛定谔方程的共轭方程，对整个方程取复共轭，即得到薛定谔方程 $$ i\hbar \partial_t \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(x)\Psi ~. $$ 在这里场变量为 $\Psi$，对应的正则动量为 $$ \pi \equiv \frac{\partial L}{\partial (\partial_t \Psi)} = i\hbar \Psi^\star~. $$ 做正则变换，给出哈密顿量 $$ H = \pi \frac{\partial}{\partial t}\Psi - L = \frac{\hbar^2}{2m} \nabla\Psi \nabla \Psi^\star+ V(x)\Psi^\star\Psi~. $$ 这里哈密顿方程给出 $$ \frac{d}{d t}\Psi = \{H,\Psi\} = -\frac{\partial \Psi}{\partial \Psi}\frac{\partial H}{i\hbar \partial \Psi^\star}~. $$