薛定谔经典场

贡献者： jiangnan

本文处于草稿阶段。

预备知识　经典场论基础

　　通常的场论都是相对论性的，满足洛伦兹协变，但是在很多情况下我们也要处理非相对论的场，例如在凝聚态系统中，我们需要处理诸如 Gross-Pitaevskii 方程等。因此在这里我们讨论一些从场论角度看非相对论量子力学的问题。

1. 薛定谔方程的场论表述

　　我们知道对于单粒子，薛定谔方程为

\begin{matrix} (1) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = \hat{H} Ψ = - \frac{ℏ^{2} \nabla^{2}}{2 m} Ψ + V (x) Ψ . \end{matrix}

拉氏量的构造可以有很多种，这里我们选取一种拉式量的构造方法，给出薛定谔方程。我们定义

L = Ψ^{⋆} [i ℏ \frac{\partial}{\partial t} - V (x)] Ψ - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla Ψ \nabla Ψ^{⋆},

对应的作用量为

S = \int d t \int d^{3} x L .

根据欧拉-拉格朗日方程

\partial_{u} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{u} Ψ)} - \frac{\partial L}{\partial Ψ} = 0,

我们有

i ℏ \partial_{t} Ψ^{⋆} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} Ψ^{⋆} + V (x) Ψ^{⋆} = 0,

即薛定谔方程的共轭方程，对整个方程取复共轭，即得到薛定谔方程

i ℏ \partial_{t} Ψ = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} Ψ + V (x) Ψ .

在这里场变量为

Ψ

，对应的正则动量为

π \equiv \frac{\partial L}{\partial (\partial_{t} Ψ)} = i ℏ Ψ^{⋆} .

做正则变换，给出哈密顿量

H = π \frac{\partial}{\partial t} Ψ - L = \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla Ψ \nabla Ψ^{⋆} + V (x) Ψ^{⋆} Ψ .

这里哈密顿方程给出

\frac{d}{d t} Ψ = {H, Ψ} = - \frac{\partial Ψ}{\partial Ψ} \frac{\partial H}{i ℏ \partial Ψ^{⋆}} .

2. 场的定域性

　　在一般的场论中，我们构造的拉格朗日量都是定域的，这也就是说，在拉氏量中，场之间的耦合（两个以上场算符乘在一起时称为耦合）都是在时空的邻域上。例如，我们不会写 $ϕ (\vec{x}, t) ϕ (\vec{y}, t)$ 这样的项在拉氏量里。场论中只会通过梯度项 $(\nabla ψ)^{2}$ 将临近的时空点上的场耦合起来。我们没有理由说明场为什么一定是定域的，但定域性却作为我们构造一切场论的基本前提，出现在科学实践中。¹

1. ^ Quantum Field Theory,David Tong

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