薛定谔经典场

                     

贡献者: jiangnan

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 经典场论基础

   通常的场论都是相对论性的,满足洛伦兹协变,但是在很多情况下我们也要处理非相对论的场,例如在凝聚态系统中,我们需要处理诸如 Gross-Pitaevskii 方程等。因此在这里我们讨论一些从场论角度看非相对论量子力学的问题。

1. 薛定谔方程的场论表述

   我们知道对于单粒子,薛定谔方程为

\begin{equation} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \hat{H} \Psi = -\frac{\hbar^2 \nabla^2}{2m} \Psi + V(x)\Psi ~. \end{equation}
拉氏量的构造可以有很多种,这里我们选取一种拉式量的构造方法,给出薛定谔方程。我们定义 $$ L = \Psi^\star [i\hbar \frac{\partial}{\partial t} - V(x)]\Psi - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla \Psi \nabla \Psi^\star~, $$ 对应的作用量为 $$ S = \int dt \int d^3 x L~. $$ 根据欧拉-拉格朗日方程 $$ \partial_u \frac{\partial L}{\partial (\partial_u \Psi)} - \frac{\partial L}{\partial \Psi}=0 ~, $$ 我们有 $$ i\hbar \partial_t \Psi^\star - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi^\star + V(x)\Psi^\star=0 ~, $$ 即薛定谔方程的共轭方程,对整个方程取复共轭,即得到薛定谔方程 $$ i\hbar \partial_t \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(x)\Psi ~. $$ 在这里场变量为 $\Psi$,对应的正则动量为 $$ \pi \equiv \frac{\partial L}{\partial (\partial_t \Psi)} = i\hbar \Psi^\star~. $$ 做正则变换,给出哈密顿量 $$ H = \pi \frac{\partial}{\partial t}\Psi - L = \frac{\hbar^2}{2m} \nabla\Psi \nabla \Psi^\star+ V(x)\Psi^\star\Psi~. $$ 这里哈密顿方程给出 $$ \frac{d}{d t}\Psi = \{H,\Psi\} = -\frac{\partial \Psi}{\partial \Psi}\frac{\partial H}{i\hbar \partial \Psi^\star}~. $$

2. 场的定域性

   在一般的场论中,我们构造的拉格朗日量都是定域的,这也就是说,在拉氏量中,场之间的耦合(两个以上场算符乘在一起时称为耦合)都是在时空的邻域上。例如,我们不会写 $\phi(\vec{x},t)\phi(\vec{y},t)$ 这样的项在拉氏量里。场论中只会通过梯度项 $(\nabla \psi)^2$ 将临近的时空点上的场耦合起来。我们没有理由说明场为什么一定是定域的,但定域性却作为我们构造一切场论的基本前提,出现在科学实践中。1


1. ^ Quantum Field Theory,David Tong


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