施勒米希-洛希余项公式

                     

贡献者： 零穹

　　 在用带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式式 1 表达函数 $f(x)$ 时，得到的总是属于 “局部” 的性质，即关于点 $x_0$ 的性质的。若取其它数值 $x$，必须假定这些数值 “充分接近” 于 $x_0$，而不能任意选取。这是因为函数 $f(x)$ 与其 n 阶近似多项式 $p(x)$ 的差为一余项 $o((x-x_0{)}^n)$，而这余项仅仅说在 $x$ 充分接近 $x_0$ 时趋于 0。而对于其它的 $x$，并不能保证近似多项式可以表达函数 $f(x)$ 至预先选定的准确度，而这往往是我们希望做到的。因此，我们需要推导余项的其它形式。

　　 假定 $f(x)$ 在区间 $[x_0,x_0+H](H>0)$ 内定义着，并在该区间内有直至 $n$ 阶导数存在并连续，此外，至少在开区间 $(x_0,x_0+H)$ 内 $n+1$ 阶导数 $f^{(n+1)}(x)$ 存在且有限。函数在区间 $[x_0-H,x_0]$ 内定义时的情形，可类似说明。(注：之所以这样假定，是为了应用柯西微分中值定理式 3 )

　　 若用 $n$ 阶多项式

作为 $f(x)$ 的近似公式，余项用 $r_n(x)$ 表示，即 施勒米希-洛希（O.Schl$\ddot{o}$milch-Roche）推导出下面的公式 其中，$p$ 为大于 0 的任一数。该式称为施勒米希-洛希余项公式。

1. 式 3 的证明

　　 由式 1 ，式 2

令 $x$ 固定为区间 $[x_0,x_0+H]$ 内任一数值，做辅助函数 其中 $z\in [x_0,x]$。在这区间内，函数 $\phi (z)$ 是连续的（因为 $f(x)$ 在这区间直至 $n$ 阶导数皆是连续的），且有 此外，

　　 任取一函数 $\psi (z)$，其在区间 $[x_0,x]$ 内连续，且至少在开区间 $(x_0,x)$ 内有不等于 0 的导数 ${\psi }^{\prime }(z)$。应用柯西微分中值定理定理 3

其中，$x_0<c<x$ 或 $c=x_0+\theta (x-x_0)(0<\theta <1)$。

　　 式 6 ，式 7 代入式 8 ，得

由于 $\psi (z)$ 为满足在区间 $[x_0,x]$ 内连续，且至少在开区间 $(x_0,x)$ 内有不等于 0 的导数的任意函数，取 $\psi (z)=(x-z{)}^p,p>0$，就有 这时，式 9 就为 因为 $c=x_0+\theta (x-x_0)(0<\theta <1)$，代入上式，即得式 3 . 证毕！

2. 例子

拉格朗日余项公式

　　 式 3 中令 $p=n+1$，即得拉格朗日余项公式式 7

柯西余项式

　　 令 $p=1$，即得柯西余项式