贡献者： 零穹
在用带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式式 1 表达函数 $f(x)$ 时，得到的总是属于 “局部” 的性质，即关于点 $x_0$ 的性质的。若取其它数值 $x$，必须假定这些数值 “充分接近” 于 $x_0$，而不能任意选取。这是因为函数 $f(x)$ 与其 n 阶近似多项式 $p(x)$ 的差为一余项 $o((x-x_0)^n)$，而这余项仅仅说在 $x$ 充分接近 $x_0$ 时趋于 0。而对于其它的 $x$，并不能保证近似多项式可以表达函数 $f(x)$ 至预先选定的准确度，而这往往是我们希望做到的。因此，我们需要推导余项的其它形式。
假定 $f(x)$ 在区间 $[x_0,x_0+H]\;(H>0)$ 内定义着，并在该区间内有直至 $n$ 阶导数存在并连续，此外，至少在开区间 $(x_0,x_0+H)$ 内 $n+1$ 阶导数 $f^{(n+1)}(x)$ 存在且有限。函数在区间 $[x_0-H,x_0]$ 内定义时的情形，可类似说明。(注：之所以这样假定，是为了应用柯西微分中值定理式 3 )
若用 $n$ 阶多项式
\begin{equation}
p(x)=\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i~.
\end{equation}
作为 $f(x)$ 的近似公式，余项用 $r_n(x)$ 表示，即
\begin{equation}
r_n(x)=f(x)-p(x)~.
\end{equation}
施勒米希-洛希（O.Schl$\ddot{o}$milch-Roche）推导出下面的公式
\begin{equation}
r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!p}\cdot(1-\theta)^{n+1-p}(x-x_0)^{n+1}\quad (0<\theta<1)~.
\end{equation}
其中，$p$ 为大于 0 的任一数。该式称为
施勒米希-洛希余项公式。
1. 式 3 的证明
由式 1 ，式 2
\begin{equation}
r_n(x)=f(x)-\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i~.
\end{equation}
令 $x$ 固定为区间 $[x_0,x_0+H]$ 内任一数值，做辅助函数
\begin{equation}
\varphi(z)=f(x)-\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(z)}{i!}(x-z)^i~.
\end{equation}
其中 $z\in[x_0,x]$。在这区间内，函数 $\varphi(z)$ 是连续的（因为 $f(x)$ 在这区间直至 $n$ 阶导数皆是连续的），且有
\begin{equation}
\varphi(x_0)=r_n(x),\quad \varphi(x)=0~.
\end{equation}
此外，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\varphi'(z)&=- \left(f'(z)+\sum_{i=1}^n \left(\frac{f^{(i+1)}(z)}{i!}(x-z)^i-\frac{f^{(i)}(z)}{(i-1)!}(x-z)^{i-1} \right) \right) \\
&=- \left(f'(z)+\sum_{i=1}^n\frac{f^{(i+1)}(z)}{i!}(x-z)^i-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f^{(i+1)}(z)}{i!}(x-z)^{i} \right) \\
&=-\frac{f^{(n+1)}}{n!}(x-z)^{n}~.
\end{aligned}
\end{equation}
任取一函数 $\psi(z)$，其在区间 $[x_0,x]$ 内连续，且至少在开区间 $(x_0,x)$ 内有不等于 0 的导数 $\psi'(z)$。应用柯西微分中值定理定理 3
\begin{equation}
\frac{\varphi(x)-\varphi(x_0)}{\psi(x)-\psi(x_0)}=\frac{\varphi'(c)}{\psi'(c)}~.
\end{equation}
其中，$x_0< c< x$ 或 $c=x_0+\theta(x-x_0)\quad(0<\theta<1)$。
式 6 ，式 7 代入式 8 ，得
\begin{equation}
r_n(x)=\frac{\psi(x)-\psi(x_0)}{\psi'(c)}\cdot\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n~.
\end{equation}
由于 $\psi(z)$ 为满足在区间 $[x_0,x]$ 内连续，且至少在开区间 $(x_0,x)$ 内有不等于 0 的导数的任意函数，取 $\psi(z)=(x-z)^p,\;p>0$，就有
\begin{equation}
\psi'(z)=-p(x-z)^{p-1}\quad (x_0< z< x)~.
\end{equation}
这时，
式 9 就为
\begin{equation}
\begin{aligned}
r_n(x)&=\frac{-(x-x_0)^p}{-p(x-c)^{p-1}}\cdot\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n\\
&=\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!p}(x-c)^{n+1-p}(x-x_0)^p~.
\end{aligned}
\end{equation}
因为 $c=x_0+\theta(x-x_0)\quad(0<\theta<1)$，代入上式，即得
式 3 .
证毕！
2. 例子
拉格朗日余项公式
式 3 中令 $p=n+1$，即得拉格朗日余项公式式 7
\begin{equation}
r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\quad (c\in(x_0,x))~.
\end{equation}
柯西余项式
令 $p=1$，即得柯西余项式
\begin{equation}
r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}(1-\theta)^{n}(x-x_0)^{n+1}~.
\end{equation}
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