对数正态分布
贡献者： lrqlrqlrq
对数正态分布 (
Log-normal distribution) 是一种概率分布，它的特点是其对数服从正态分布。对数正态分布常用于描述那些取值范围为正数的随机变量，如金融领域的股票价格、收益率等。它具有右偏（正偏）的特性，即分布的尾部向右延伸。对数正态分布在统计学、金融学和生物学等领域有广泛应用，特别是当研究对象的增长是指数型的时候，对数正态分布常常能够提供较好的拟合。
对数正态分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{( \log\left(x\right) -\mu)^2}{2 \sigma^2}\right)~.
\end{equation}
其中，\( x > 0 \) 是随机变量，\( \mu \) 是对数正态分布的均值，\( \sigma \) 是标准差，\( \ln \) 表示自然对数。
例 1 计算推导对数正态分布的最大值时 \( x \) 的值
我们需要求导数并令导数等于零来找到极值点。为了方便导数的计算，首先计算 $ \ln\left(f(x)\right) $，
\begin{equation}
\ln\left(f(x)\right) = -\frac{(\mu- \log\left(x\right) )^2}{2 \sigma^2}- \log\left(\sigma x\right) -\frac{1}{2} \log\left(2 \pi\right) ~.
\end{equation}
对 $ \ln\left(f(x)\right) $ 求导得到如下结果，
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{(\mu- \log\left(x\right) )^2}{2 \sigma^2}- \log\left(\sigma x\right) -\frac{1}{2} \log\left(2 \pi\right) \right) = -\frac{-\mu+\sigma^2+ \log\left(x\right) }{\sigma^2 x}~.
\end{equation}
然后解 $ \ln\left(f(x)\right) '=0$ 得到 $x$ 的值，
\begin{equation}
\exp \left({-\mu+\sigma^2+ \log\left(x\right) }\right) = 0 \rightarrow x = \mathrm{e} ^{\mu} \mathrm{e} ^{-\sigma^2}~.
\end{equation}
例 2 对数正态分布的矩（Moments）
第 $r$ 阶原始矩表示 $X$ 的随机变量的 $r$ 次方的期望值。对于具有概率密度函数 $f(y)$ 的随机变量 $X$，第 $r$ 阶原始矩为，
\begin{equation}
E\left[X^r\right]=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(r \mu+r y-y^2 / 2 \sigma^2\right)dy ~.
\end{equation}
首先，我们计算前述积分表达式的不定积分得到，
\begin{equation}
\int \frac{\exp \left(r \mu+r y-\frac{y^2}{2 \sigma^2}\right)}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} d y=\frac{\sigma e^{\left(r^2 \sigma^2\right) / 2+\mu r} erf\left(\frac{y-r \sigma^2}{\sqrt{2} \sigma}\right)}{2 \sqrt{\sigma^2}}~.
\end{equation}
这里特殊函数 $erf$ 是误差函数。然后，我们代入 $+\infty$ 和 $-\infty$，注意到 $erf(+\infty)=1$ 和 $erf(-\infty)=-1$，所以
\begin{equation}
E\left[X^r\right]=\frac{\sigma e^{\left(r^2 \sigma^2\right) / 2+\mu r}}{2 \sqrt{\sigma^2}}-\left(-\frac{\sigma e^{\left(r^2 \sigma^2\right) / 2+\mu r}}{2 \sqrt{\sigma^2}}\right) = e^{r\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}~.
\end{equation}
当 $r=1$ 时，我们有 $E\left[X\right]=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}$，$Var[X] = E\left[X^2\right] - \left(E\left[X\right]\right)^2$ 是
\begin{align}
Var[X] &= \mathrm{e} ^{2\mu+2\sigma^2} - \mathrm{e} ^{2\mu+\sigma^2} \\
&= \mathrm{e} ^{2\mu+\sigma^2}( \mathrm{e} ^{2\mu+2\sigma^2-2\mu-\sigma^2}- 1) = \mathrm{e} ^{2\mu+\sigma^2}( \mathrm{e} ^{\sigma^2}- 1)~.
\end{align}
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