对数正态分布

贡献者： lrqlrqlrq

　　 对数正态分布 ( Log-normal distribution) 是一种概率分布，它的特点是其对数服从正态分布。对数正态分布常用于描述那些取值范围为正数的随机变量，如金融领域的股票价格、收益率等。它具有右偏（正偏）的特性，即分布的尾部向右延伸。对数正态分布在统计学、金融学和生物学等领域有广泛应用，特别是当研究对象的增长是指数型的时候，对数正态分布常常能够提供较好的拟合。

　　对数正态分布的概率密度函数（PDF）可以表示为：

\begin{matrix} (1) & f (x) = \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (- \frac{(\log (x) - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) . \end{matrix}

　　其中， $x > 0$ 是随机变量， $μ$ 是对数正态分布的均值， $σ$ 是标准差， $\ln$ 表示自然对数。

例 1　计算推导对数正态分布的最大值时 $x$ 的值

　　我们需要求导数并令导数等于零来找到极值点。为了方便导数的计算，首先计算 $\ln (f (x))$ ，

\begin{matrix} (2) & \ln (f (x)) = - \frac{(μ - \log (x))^{2}}{2 σ^{2}} - \log (σ x) - \frac{1}{2} \log (2 π) . \end{matrix}

对

\ln (f (x))

求导得到如下结果，

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial}{\partial x} (- \frac{(μ - \log (x))^{2}}{2 σ^{2}} - \log (σ x) - \frac{1}{2} \log (2 π)) = - \frac{- μ + σ^{2} + \log (x)}{σ^{2} x} . \end{matrix}

然后解

\ln {(f (x))}^{'} = 0

得到

x

的值，

\begin{matrix} (4) & \exp (- μ + σ^{2} + \log (x)) = 0 \to x = e^{μ} e^{- σ^{2}} . \end{matrix}

例 2　对数正态分布的矩（Moments）

　　第 $r$ 阶原始矩表示 $X$ 的随机变量的 $r$ 次方的期望值。对于具有概率密度函数 $f (y)$ 的随机变量 $X$ ，第 $r$ 阶原始矩为，

\begin{matrix} (5) & E [X^{r}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp (r μ + r y - y^{2} / 2 σ^{2}) d y . \end{matrix}

　　首先，我们计算前述积分表达式的不定积分得到，

\begin{matrix} (6) & \int \frac{\exp (r μ + r y - \frac{y^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ^{2}}} d y = \frac{σ e^{(r^{2} σ^{2}) / 2 + μ r} e r f (\frac{y - r σ^{2}}{\sqrt{2} σ})}{2 \sqrt{σ^{2}}} . \end{matrix}

　　这里特殊函数 $e r f$ 是误差函数。然后，我们代入 $+ \infty$ 和 $- \infty$ ，注意到 $e r f (+ \infty) = 1$ 和 $e r f (- \infty) = - 1$ ，所以

\begin{matrix} (7) & E [X^{r}] = \frac{σ e^{(r^{2} σ^{2}) / 2 + μ r}}{2 \sqrt{σ^{2}}} - (- \frac{σ e^{(r^{2} σ^{2}) / 2 + μ r}}{2 \sqrt{σ^{2}}}) = e^{r μ + \frac{1}{2} σ^{2}} . \end{matrix}

　　当 $r = 1$ 时，我们有 $E [X] = e^{μ + \frac{1}{2} σ^{2}}$ ， $V a r [X] = E [X^{2}] - {(E [X])}^{2}$ 是

\begin{aligned} (8) & V a r [X] & = e^{2 μ + 2 σ^{2}} - e^{2 μ + σ^{2}} \\ (9) & = e^{2 μ + σ^{2}} (e^{2 μ + 2 σ^{2} - 2 μ - σ^{2}} - 1) = e^{2 μ + σ^{2}} (e^{σ^{2}} - 1) . \end{aligned}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

对数正态分布

例 1 计算推导对数正态分布的最大值时 x 的值

例 2 对数正态分布的矩（Moments）

例 1　计算推导对数正态分布的最大值时 $x$ 的值

例 2　对数正态分布的矩（Moments）