贡献者： JierPeter
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1. 基本概念和例子
体积形式是微分流形上一种微分形式，可以用于计算切平面附近区域的大小，进而实现积分运算。
定义 1 体积形式
给定 $n$ 维微分流形 $M$，则其上一个处处非零的 $n$-形式即为一个体积形式（volume form）。
例 1 二维欧几里得空间
设 $M$ 是二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$，给定两个坐标函数以确定一个（局部）坐标系。设在这个坐标系中，欧几里得度量被表示为 $g_{ab}$。
这里举一个坐标函数与坐标系的例子：给定一点 $o$ 和从这一点出发的一根射线 $R$，再规定一个逆时针方向。任取 $p\in M$，定义第一个坐标函数 $r(p)$ 为 $p$ 到给定点的距离，第二个坐标函数 $\theta(p)$ 为射线 $R$ 沿着规定方向转到与射线 $op$ 重合时所经过的弧度，取值范围为 $[0, 2\pi)$。上述定义的坐标函数所得到的坐标系，就是我们熟知的极坐标系。在极坐标系中，欧几里得度量为
\begin{equation}
g_{ab}= \begin{pmatrix}
1&0\\
0&r^2
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
如果用以坐标函数 $r, \theta$ 确定的余切向量 $ \,\mathrm{d}{r} $ 和 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 构成余切空间的基，那么切空间的对偶基由 $\partial_r=\cos\theta\partial_x+\sin\theta\partial_y$ 和 $\partial_\theta=\frac{-\sin\theta}{r}\partial_x+\frac{\cos\theta}{r}\partial_y$ 构成。
设坐标函数 $x$ 和 $y$ 诱导出的是我们熟知的标准正交基，其中 $x$ 轴的非负半轴与上述极坐标轴重合。
而 $2$-形式 $ \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 对这两个切向量的作用为1
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} (\partial_x, \partial_y) = \frac{1}{r}~,
\end{equation}
我们使用通常的面积（二维体积）的定义，即给定无穷小量$\varepsilon_x$ 和 $\varepsilon_y$，截取切向量 $\partial_x$ 的代表曲线上 $t\in[0, \varepsilon_x)$ 上的一段和 $\partial_y$ 上 $t\in[0, \varepsilon_y)$ 上的一段，这两段近似张成的平行四边形面积应为
\begin{equation}
\varepsilon_x\varepsilon_y = r \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} (\varepsilon_x\partial_x, \varepsilon_y\partial_y)~.
\end{equation}
式 3 中的 $r \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 即为体积形式，可以看出如何用它配合切向量算出体积。
例 2 黎曼流形
例 1 是黎曼流形的一个特例。在一般的 $n$ 维黎曼流形上，任意给定一组坐标函数 $\{x^\mu\mid \mu=1, 2, \cdots, n\}$，其对应的余切向量分别为 $\{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu\}$，对应的切空间的基为 $\{\partial_\mu\}$，度量张量为 $g_{\mu\nu}$。
则体积形式为
\begin{equation}
\sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n~,
\end{equation}
其中 $g=\det g_{\mu\nu}$。
在伪黎曼流形上式 4 同样成立。
不是所有流形都可以找到处处存在的体积形式，莫比乌斯带就是一个反例。体积形式的存在性依赖于流形的可定向性：
定理 1
当且仅当流形可定向时，流形上存在处处非零的体积形式。
定理 1 的证明思路是，体积形式在某一点处总能导出一个法向量，而某点处的法向量总能导出一个体积形式。
2. 与测度的关系
未完成：需要流形上的微积分、测度作为预备。
流形 $M$ 上，给定的体积形式 $\omega$ 能导出一个测度 $\mu_{\omega}$：
\begin{equation}
\mu_\omega(U) = \int_U \omega~.
\end{equation}
1. ^ 推导留给读者，注意按定义，$ \,\mathrm{d}{f} (\partial_i)=\partial_i f$，其中 $i\in\{x, y\}$，$f\in\{r, \theta\}$。余切向量的外积定义见子节 2 。
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