体积形式

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 微分形式

  

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1. 基本概念和例子

   体积形式是微分流形上一种微分形式,可以用于计算切平面附近区域的大小,进而实现积分运算.

定义 1 体积形式

   给定 $n$ 维微分流形 $M$,则其上一个处处非零的 $n$-形式即为一个体积形式(volume form)

例 1 二维欧几里得空间

   设 $M$ 是二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$,给定两个坐标函数以确定一个(局部)坐标系.设在这个坐标系中,欧几里得度量被表示为 $g_{ab}$.

   这里举一个坐标函数与坐标系的例子:给定一点 $o$ 和从这一点出发的一根射线 $R$,再规定一个逆时针方向.任取 $p\in M$,定义第一个坐标函数 $r(p)$ 为 $p$ 到给定点的距离,第二个坐标函数 $\theta(p)$ 为射线 $R$ 沿着规定方向转到与射线 $op$ 重合时所经过的弧度,取值范围为 $[0, 2\pi)$.上述定义的坐标函数所得到的坐标系,就是我们熟知的极坐标系.在极坐标系中,欧几里得度量为

\begin{equation} g_{ab}= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&r^2 \end{pmatrix} \end{equation}

   如果用以坐标函数 $r, \theta$ 确定的余切向量 $ \,\mathrm{d}{r} $ 和 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 构成余切空间的基,那么切空间的对偶基由 $\partial_r=\cos\theta\partial_x+\sin\theta\partial_y$ 和 $\partial_\theta=\frac{-\sin\theta}{r}\partial_x+\frac{\cos\theta}{r}\partial_y$ 构成.

   设坐标函数 $x$ 和 $y$ 诱导出的是我们熟知的标准正交基,其中 $x$ 轴的非负半轴与上述极坐标轴重合.

   而 $2$-形式 $ \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 对这两个切向量的作用为1

\begin{equation} \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} (\partial_x, \partial_y) = \frac{1}{r} \end{equation}

   我们使用通常的面积(二维体积)的定义,即给定无穷小量$\varepsilon_x$ 和 $\varepsilon_y$,截取切向量 $\partial_x$ 的代表曲线上 $t\in[0, \varepsilon_x)$ 上的一段和 $\partial_y$ 上 $t\in[0, \varepsilon_y)$ 上的一段,这两段近似张成的平行四边形面积应为

\begin{equation} \varepsilon_x\varepsilon_y = r \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} (\varepsilon_x\partial_x, \varepsilon_y\partial_y) \end{equation}

   式 3 中的 $r \,\mathrm{d}{r} \wedge \,\mathrm{d}{\theta} $ 即为体积形式,可以看出如何用它配合切向量算出体积.

例 2 黎曼流形

   例 1 是黎曼流形的一个特例.在一般的 $n$ 维黎曼流形上,任意给定一组坐标函数 $\{x^\mu\mid \mu=1, 2, \cdots, n\}$,其对应的余切向量分别为 $\{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu\}$,对应的切空间的基为 $\{\partial_\mu\}$,度量张量为 $g_{\mu\nu}$.

   则体积形式为

\begin{equation} \sqrt{ \left\lvert g \right\rvert } \,\mathrm{d}{x} ^1\wedge \,\mathrm{d}{x} ^2\wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x} ^n \end{equation}
其中 $g=\det g_{\mu\nu}$.

   在伪黎曼流形上式 4 同样成立.

   不是所有流形都可以找到处处存在的体积形式,莫比乌斯带就是一个反例.体积形式的存在性依赖于流形的可定向性:

定理 1 

   当且仅当流形可定向时,流形上存在处处非零的体积形式.

   定理 1 的证明思路是,体积形式在某一点处总能导出一个法向量,而某点处的法向量总能导出一个体积形式.

2. 与测度的关系

  

未完成:需要流形上的微积分、测度作为预备.

   流形 $M$ 上,给定的体积形式 $\omega$ 能导出一个测度 $\mu_{\omega}$:

\begin{equation} \mu_\omega(U) = \int_U \omega \end{equation}


1. ^ 推导留给读者,注意按定义,$ \,\mathrm{d}{f} (\partial_i)=\partial_i f$,其中 $i\in\{x, y\}$,$f\in\{r, \theta\}$.余切向量的外积定义见子节 2


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